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Vidéo de question : Déterminer le rang d’un terme d’une suite géométrique donnée connaissant sa valeur Mathématiques

Quel est le rang du terme dans la suite géométrique, définie à partir du rang 1, par 6 ; 24 ; 96 ; ... dont la valeur est 1572864 ?

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Transcription de vidéo

Quel est le rang du terme dans la suite géométrique, définie à partir du rang un, par six ; 24 ; 96 ; etc… dont la valeur est 1572864 ?

Nous pouvons nous rappeler qu’une suite géométrique est une suite pour laquelle le rapport entre deux termes successifs ou consécutifs est constant. Ici, nous devons déterminer le rang ou position du terme dont la valeur est égale à 1572864. Afin de nous y aider, nous pouvons déterminer l’expression générale du 𝑛ième terme de cette suite géométrique. Et nous devons pour ce faire nous rappeler la formule qui nous dit que 𝑎 indice 𝑛 est égal à 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. La valeur de 𝑎 est parfois notée 𝑎 indice un. Et elle représente la valeur du premier terme de la suite. La valeur de 𝑟 est le rapport entre deux termes consécutifs et on l’appelle raison.

Étant donné que nous avons les trois premiers termes de la suite, nous pouvons alors calculer la raison 𝑟 et trouver la première valeur. Afin de trouver la raison, nous pouvons prendre n’importe quel terme et le diviser par le terme qui le précède immédiatement. Ainsi, en utilisant les premier et deuxième termes, soit si nous prenons 24 et le divisons par six, nous obtenons la valeur de quatre. En d’autres termes, six multiplié par quatre nous donnerait 24. La même chose serait vraie si nous utilisions les deuxième et troisième termes. Nous pouvons voir que leur rapport est égal à quatre.

Et ainsi nous savons que 𝑟 est égal à quatre. En ce qui concerne le premier terme, on nous indique ici que sa valeur est égale à six. Cela signifie donc que 𝑎 est égal à six. Nous pouvons ensuite remplacer par les valeurs de 𝑎 et 𝑟 dans cette formule du terme général, en nous rappelant que 𝑟 est la raison. Cela nous donne que 𝑎 indice 𝑛 est égal à six fois quatre à la puissance 𝑛 moins un. Lorsque nous avons l’expression du terme général ou du 𝑛ième terme d’une suite, nous pouvons l’utiliser pour trouver la valeur de n’importe quel terme de cette suite. Cependant, on nous donne dans cette question la valeur d’un terme. On pourrait donc dire que c’est la valeur de 𝑎 indice 𝑛. Nous pouvons alors utiliser l’expression du terme général pour déterminer quelle valeur de 𝑛 produirait cette valeur.

Et par conséquent, nous pouvons remplacer 𝑎 indice 𝑛 par cette valeur dans l’expression du terme général. En divisant par six, on obtient que 262144 est égal à quatre à la puissance 𝑛 moins un. Il y a un certain nombre de manières différentes que nous pourrions utiliser pour déterminer l’exposant de quatre. Une manière consiste à utiliser une méthode par essai et erreur par laquelle nous trouverions la valeur qui nous donne 262144. Nous pourrions alors l’utiliser pour trouver la valeur de 𝑛.

Une autre méthode consiste à prendre les logarithmes des deux membres pour nous aider à trouver l’exposant. Peu importe la base que nous utilisons pour nos logarithmes. Nous pouvons alors pour nous aider utiliser les propriétés des logarithmes. Nous savons que le logarithme de base 𝑎 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑛 fois le logarithme de base 𝑎 de 𝑥. Et par conséquent, nous pouvons écrire le membre de droite de cette équation comme 𝑛 moins un que multiplie le logarithme de base 10 de quatre. Nous divisons ensuite par le logarithme de base 10 de quatre. Et nous pouvons utiliser nos calculatrices pour évaluer le logarithme de base 10 de 262144 divisé par le logarithme de base 10 de quatre, ce qui nous donne que 𝑛 moins un égal à neuf.

Et ainsi nous obtenons que 𝑛 est égal à 10. Et cela signifie que le rang du terme doit être 10. C’est donc le 10ème terme de la suite, qui a une valeur de 1572864. Nous pourrions vérifier notre réponse en remplaçant 𝑛 par 10 dans l’expression du terme général. Lorsque nous simplifions l’exposant, nous obtenons quatre à la puissance neuf et quatre à la puissance neuf est égal à 262144. La multiplication par six nous donne une valeur de 1572864 soit celle qui nous a été donnée dans la question, ce qui confirme notre réponse selon laquelle il s’agit bien du 10ème terme de la suite.

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