Transcription de la vidéo
Deux points sur le sol sont alignés du même côté d'un mât haut de 29 mètres. Les angles d'élévation des deux points au sommet du mât sont de 45 degrés 18 minutes et 34 degrés 18 minutes. Déterminez la distance entre les deux points en donnant la réponse au dixième près.
Tout d'abord, commençons par schématiser cette situation. Il y a un mât de drapeau qui mesure 29 mètres de haut. Il y a ensuite deux points sur le sol qui se trouvent de manière colinéaire du même côté du mât. Ce qui signifie simplement qu'ils se trouvent sur la même droite. Les angles d'élévation entre ces deux points et le sommet du mât sont de 45 degrés 18 minutes et 34 degrés 18 minutes. Les angles d'élévation sont des angles mesurés depuis l'horizontale jusqu'à la ligne de visée lorsque nous regardons vers quelque chose. Dans ce cas, on regarde du sol vers le sommet du mât.
On peut également vouloir convertir ces angles, mesurés en degrés et en minutes, en angles mesurés uniquement en degrés. Rappelez-vous qu'il y a 60 minutes dans un degré, donc 18 minutes correspondent à 18 sur 60 de degré. L'angle 45 degrés et 18 minutes est donc de 45 et 18 sur 60 degrés, soit 45,3 degrés. De même, l'angle 34 degrés et 18 minutes est de 34,3 degrés.
On peut donc ajouter les mesures de ces deux angles à notre schéma. Dans chaque cas, il faut faire attention à bien partir de l'horizontale et à regarder vers le haut en direction du mât lorsque nous mesurons l'angle.
On veut trouver la distance entre les deux points, qui sont désignés par les lettres 𝐴 et 𝐵, et on va appeler cette distance 𝑦 mètres. Or 𝑦 est la différence entre 𝐴𝐶, c'est-à-dire la distance entre le bas du mât et le point le plus éloigné, et 𝐵𝐶, la distance entre le bas du mât et le point le plus proche.
On peut calculer chacune de ces distances à l'aide de la trigonométrie dans le triangle rectangle. Commençons par le triangle rectangle 𝐵𝐶𝐷, dans lequel on connaît la longueur du côté 𝐶𝐷 et la mesure de l'angle 𝐶𝐵𝐷. Par rapport à l'angle de 45,3 degrés, le côté de 29 mètres est l'opposé, 𝐵𝐶 est l'adjacent, et 𝐵𝐷 est l'hypoténuse. On connaît la longueur du côté opposé, et on veut calculer la longueur du côté adjacent. Donc en se rappelant de l'acronyme SOH CAH TOA, il s'agit du rapport de tangente que nous devons utiliser.
Pour un angle thêta dans un triangle rectangle, la tangente de l'angle thêta est définie comme étant égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent. On a donc tangente 45,3 degrés égale 29 sur 𝐵𝐶. On multiplie les deux côtés de cette équation par l'inconnue 𝐵𝐶, ce qui donne 𝐵𝐶 fois tangente 45,3 degrés égale 29. Pour déterminer 𝐵𝐶, on divise les deux côtés de l'équation par tangente 45,3 degrés, ce qui donne 𝐵𝐶 égale 29 sur tangente 45,3 degrés. En utilisant une calculatrice, en mode degré, on trouve que la longueur de 𝐵𝐶 est de 28,697 mètres.
On connaît donc la longueur de 𝐵𝐶. Il s'agit de la distance entre le bas du mât et le point le plus proche. Il nous faut maintenant calculer la longueur de 𝐴𝐶, la distance entre le bas du mât et le point le plus éloigné. Pour cela, on considère le triangle rectangle 𝐴𝐶𝐷.
Dans ce triangle, par rapport à l'angle connu de 34,3 degrés, le côté 𝐶𝐷 est l'opposé, le côté 𝐴𝐶 est l'adjacent, et le côté 𝐴𝐷 est l'hypoténuse. Comme avant, le côté dont nous connaissons la longueur est l'opposé, et le côté que nous souhaitons calculer est l'adjacent. On utilise donc le rapport tangente. On a que tangente 34,3 degrés égale 29 sur 𝐴𝐶. Pour calculer 𝐴𝐶, on procède exactement de la même manière que pour calculer 𝐵𝐶. On multiplie d'abord par 𝐴𝐶. Ensuite, on divise par tangente 34,3 degrés pour obtenir 𝐴𝐶 égale 29 sur tangente 34,3 degrés, soit 42,512 etc… en mètres.
On connaît maintenant les distances entre le bas du mât et chaque point. Il ne reste donc plus qu'à déterminer la distance entre les deux points en soustrayant 𝐵𝐶 de 𝐴𝐶. On a 42,512 etc… moins 28,697 etc, ce qui donne 13,81 etc... Dans la question, il est précisé que nous devons donner notre réponse au dixième près. On arrondit donc à 13,8, et on trouve que la distance entre les deux points au dixième près est de 13,8 mètres.
Il est bon de préciser qu'il existe une autre méthode que nous pouvons utiliser pour répondre à cette question. En regardant le triangle 𝐵𝐶𝐷 tout d'abord, on aurait pu utiliser le rapport du sinus pour calculer la longueur du côté 𝐵𝐷, qui est l'hypoténuse. Comme ce côté est en commun avec le triangle 𝐴𝐵𝐷, on connaît maintenant une longueur de côté dans ce triangle. On peut également calculer la mesure de l'angle 𝐴𝐵𝐷 en se rappelant que la somme des angles sur une droite égale 180 degrés. Donc la mesure de cet angle est 180 degrés moins 45,3 degrés.
On peut alors calculer la mesure du troisième angle de ce triangle, l'angle 𝐵𝐷𝐴, en se rappelant que la somme des angles d'un triangle est de 180 degrés. On peut donc soustraire les mesures des deux autres angles de 180 degrés. Puisque nous connaissons maintenant les mesures des trois angles de ce triangle et la longueur d'un côté, on peut appliquer la loi des sinus pour calculer la longueur 𝐴𝐵. En appliquant cette méthode, on obtient bien sûr le même résultat, à savoir que la distance entre les deux points, au dixième près, est de 13,8 mètres.