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VidĂ©o de question : Identifier le graphe de la fonction sinus Mathématiques

Laquelle des courbes suivantes est d’équation 𝑦=sin 𝑥 ? [A] Graphe A [B] Graphe B [C] Graphe C [D] Graphe D [E] Graphe E

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Transcription de vidéo

Laquelle des courbes suivantes est d’équation 𝑦 égale sinus 𝑥 ?

Commençons par rappeler quelques caractéristiques du graphe de la fonction sinus. Nous rappelons tout d’abord que le graphe de la fonction sinus est périodique de période 360 degrés, ou deux 𝜋 radians. Ceci signifie que les mêmes valeurs se répètent tous les 360 degrés. Nous savons que nous allons travailler en degrés dans cette question, en effet, nous pouvons voir sur les cinq graphes proposés que les valeurs indiquées sur l’axe des 𝑥 sont des multiples entiers de 90. Nous rappelons ensuite que l’ensemble image de la fonction sinus est l’intervalle fermé de moins un à un. La fonction oscille continuellement entre sa valeur minimale négative et sa valeur maximale positive.

Enfin, toutes les racines de la fonction sinus sont des multiples entiers de 180 degrés. Ainsi, le graphe de la fonction sinus coupe l’axe des 𝑥 à chaque multiple entier de 180 degrés. En particulier, 𝑥 égale zéro est une racine de la fonction sinus. Le graphe passe donc par l’origine et son ordonnée à l’origine est par conséquent zéro. Nous pouvons maintenant utiliser ces propriétés pour identifier lequel des cinq graphes proposés représente 𝑦 égale sinus 𝑥. Le graphe (A) a une période comprise entre 90 et 135 degrés. Ce n’est donc pas le bon graphe. De plus, son ordonnée à l’origine est égale à un et non à zéro. Cela donne une raison supplémentaire pour affirmer que le graphe (A) ne représente pas la fonction sinus.

L’ordonnée à l’origine du graphe (D) est bien égale à zéro, mais sa période est égale à 180 degrés. Ce n’est donc pas non plus le bon graphe. Le graphe (D) pourrait représenter une dilatation horizontale de facteur un demi de la fonction sinus. En examinant le graphe (C), nous pouvons voir qu’il se situe entièrement au-dessus ou sur l’axe des 𝑥. L’ensemble image de ce graphe est l’intervalle fermé de zéro à deux et non l’intervalle fermé de moins un à un. Nous pouvons donc éliminer le graphe (C). Il nous reste plus que deux graphes à l’allure similaire, le graphe (B) et le graphe (E). Nous pouvons voir qu’ils ont tous les deux le bon ensemble image, c’est-à-dire l’intervalle fermé de moins un à un. Ils ont aussi tous les deux une période de 360 degrés. Alors examinons à présent les racines de ces deux fonctions. Le graphe (B) coupe l’axe des 𝑥 en zéro, 180 degrés, 360 degrés et moins 180 degrés, moins 360 degrés. Ce sont des multiples entiers de 180 degrés. Ainsi, les racines du graphe (B) correspondent aux racines de la fonction sinus.

En revanche, le graphe (E) coupe l’axe des 𝑥 en 90 degrés, 270 degrés, moins 90 degrés, moins 270 degrés et ainsi de suite. Ce ne sont pas des multiples entiers de 180 degrés. Le graphe (E) ne représente donc pas la fonction sinus. Nous pouvons également voir que l’ordonnée à l’origine du graphe (E) est égale à moins un et qu’il ne passe donc pas par l’origine. Le graphe (B) a la bonne période, le bon ensemble image, les bonnes racines et la bonne ordonnée à l’origine, en plus d’avoir la bonne forme. Nous en déduisons que le graphe (B) est le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥.

Si nous superposions le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 sur le graphe (E), nous verrions que le graphe (E) est en fait une translation de 𝑦 égale sinus 𝑥. Chaque point a été déplacé vers la droite de 90 degrés. Ainsi, nous pourrions dire que le graphe (E) est une translation horizontale de 90 degrés de 𝑦 égale sinus 𝑥 dans le sens positif des abscisses. Le bon graphe est cependant le graphe (B).

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