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Vidéo de question : Déterminer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle à partir des longueurs de ses côtés Mathématiques

𝑋𝑌𝑍 est un triangle rectangle en 𝑌, où 𝑋𝑌=16,5 cm, 𝑌𝑍=28 cm et 𝑋𝑍=32,5 cm. Déterminez la mesure de l’angle ∠𝑍 à la seconde d’arc près.

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Transcription de vidéo

𝑋𝑌𝑍 est un triangle rectangle en 𝑌, où 𝑋𝑌 est égal à 16,5 centimètres, 𝑌𝑍 est égal à 28 centimètres et 𝑋𝑍 est égal à 32,5 centimètres. Déterminez la mesure de l’angle 𝑍 à la seconde d’arc près.

Nous pouvons commencer par dessiner notre triangle rectangle à partir des informations données dans l’énoncé. Nous savons que l’angle droit est au point 𝑌. Nous savons que les longueurs des trois côtés sont 16,5, 28 et 32,5 centimètres. On nous demande de calculer la mesure de l’angle au sommet 𝑍.

Pour cela, nous allons utiliser nos connaissances sur les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles. Nous savons que le sinus de 𝜃 est égal à au côté opposé sur l’hypoténuse. Aussi, le cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Enfin, la tangente de 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent. Une astuce pour ne pas oublier ces rapports est de mémoriser l’acronyme SOH CAH TOA.

Nous savons que le côté le plus long d’un triangle rectangle, qui est aussi le côté opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse. Le côté opposé à notre angle d’étude, qui dans notre cas est 𝑋𝑌, s’appelle tout simplement le côté opposé. Le troisième côté, le côté compris entre notre angle d’étude et l’angle droit, s’appelle le côté adjacent. Puisque nous connaissons les longueurs des trois côtés de notre triangle, nous pouvons utiliser n’importe lequel des trois rapports. Dans cette question, nous allons utiliser le rapport cosinus.

En remplaçant nos valeurs dans le rapport cosinus, nous obtenons que le cosinus de l’angle 𝑍 est égal à 28 sur 32,5. Nous appliquons la fonction réciproque du cosinus des deux côtés de l’équation et nous obtenons que 𝑍 est égal au cosinus réciproque de 28 sur 32,5. Nous utilisons alors notre calculatrice, sans oublier de vérifier qu’elle est bien réglée en mode degré, et nous obtenons que 𝑍 est égal à 30,510237 etc.

On nous demande de donner notre réponse à la seconde d’arc près. Nous pouvons le faire directement sur la calculatrice en appuyant sur la touche représentée ici. Cela nous donne une réponse de 30 degrés, 30 minutes et 36,85 secondes, ou 30 degrés, 30 minutes et 37 secondes arrondi à la seconde près.

Nous pouvons aussi le faire à la main en nous rappelant qu’il y a 60 minutes dans un degré. Ainsi, nous multiplions la partie décimale de notre réponse par 60, ce qui nous donne 30,6142 etc minutes. Ensuite, puisqu’il y a 60 secondes dans une minute, nous multiplions la partie décimale de notre résultat précédent par 60, ce qui nous donne 37 secondes une fois arrondi la seconde. L’angle 𝑍 mesure 30 degrés, 30 minutes et 37 secondes à la seconde près.

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