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Vidéo question :: Déterminer les termes d’une suite géométrique en fonction de leur somme et du produit de leurs carrés Mathématiques • Deuxième année secondaire

Trouvez les trois termes consécutifs d’une suite géométrique tels que la somme égale sept, et le produit de leur carré 64.

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Trouvez les trois termes consécutifs d’une suite géométrique tels que la somme égale sept, et le produit de leur carré 64.

Tout d’abord, nous devons savoir ce qu’est une suite géométrique. C’est une suite où chaque terme après le premier terme est trouvé en multipliant le terme précédent par un nombre qu’on appelle la raison de la suite. Si nous posons le premier terme 𝑎 et la raison 𝑟, alors nous pouvons écrire trois termes consécutifs, tels que le premier terme est 𝑎. Le deuxième terme serait le premier terme multiplié par la raison, 𝑎 fois 𝑟. Le troisième terme est le deuxième terme multiplié par la raison. Ce serait 𝑎𝑟 fois 𝑟. Et nous pouvons simplifier cela pour dire 𝑎𝑟 au carré.

Nous pouvons prendre ces trois valeurs et les utiliser pour écrire des équations pour la somme et le produit donné. Puisque nous savons que la somme de ces trois valeurs est sept, nous pouvons dire que 𝑎 plus 𝑎𝑟 plus 𝑎𝑟 au carré est égal à sept. Chacun de ces termes a un facteur de 𝑎. Si nous retirons ce facteur, nous pouvons réécrire cette expression pour avoir 𝑎 fois un plus 𝑟 plus 𝑟 au carré égale sept. Et puisque nous avons un polynôme du second degré entre les parenthèses, il pourrait être utile de le réorganiser de sorte que le terme 𝑟 au carré vienne en premier et que la constante arrive à la fin. Cela ne change pas la valeur de ce qui est entre parenthèses. Mais il s’agit d’un format plus courant. Et pour l’instant, c’est tout ce que nous pouvons faire avec l’équation de la somme.

Le produit n’est pas seulement le produit de ces trois valeurs. Il s’agit du produit de leurs carrés et il vaut 64. Cela signifie que 𝑎 au carré fois 𝑎𝑟 au carré fois 𝑎𝑟 carré au carré est égal à 64. Nous devons distribuer ces valeurs au carré, ce qui nous donne 𝑎 carré fois 𝑎 carré 𝑟 carré fois 𝑎 carré 𝑟 puissance quatre, égale 64. Lorsque les exposants qui ont la même base sont multipliés ensemble, nous ajoutons les valeurs des exposants. Cela signifie que nous allons avoir ici deux plus deux plus deux. Et nous aurons 𝑎 à la puissance six. Nous pouvons multiplier 𝑟 au carré par 𝑟 puissance quatre en ajoutant deux plus quatre. Et nous aurons 𝑟 à la puissance six.

Si nous savons que 𝑎 à la puissance six fois 𝑟 à la puissance six égale 64, nous pouvons dire que 𝑎𝑟 à la puissance six est égal à 64. Et puis, nous pouvons prendre la racine sixième des deux côtés de l’équation. Nous pouvons également noter que prendre la racine sixième est la même chose que de prendre 𝑎𝑟 à la puissance six à la puissance un sixième. Pour certaines calculatrices, vous devrez entrer 64 puis un sixième en exposant. La racine sixième de 𝑎𝑟 à la puissance six vaut 𝑎𝑟. Et la racine sixième de 64 vaut deux. Si 𝑎𝑟 est égal à deux, alors nous avons trouvé notre deuxième terme.

Ce que nous pouvons faire, c’est prendre l’équation 𝑎𝑟 égale deux et trouver la variable 𝑎 ou la variable 𝑟. Et une fois que nous aurons cela, nous intégrerons ces valeurs à notre première équation. Mais comment décider si nous voulons trouver 𝑎 ou 𝑟 ? Si nous regardons cette première équation, la variable 𝑎 est seule. La variable 𝑟 est au carré puis ajoutée à nouveau. Nos calculs seront plus simples si nous substituons une valeur à 𝑎 au lieu de 𝑟. Cela ne signifie pas que vous ne pouvez pas trouver 𝑟 et trouver toujours la réponse. Cela signifie simplement que l’algèbre pourrait être un peu plus difficile.

Puisque nous savons que 𝑎 fois 𝑟 égale deux, nous voulons trouver une équation qui dit que 𝑎 est égal à quelque chose. Si nous divisons les deux côtés de cette équation par 𝑟, alors nous verrons que 𝑎 est égal à deux sur 𝑟. Et donc, nous prenons notre première équation 𝑎 fois 𝑟 au carré plus 𝑟 plus un égal à sept. Et nous posons deux sur 𝑟 pour 𝑎. Puisque nous n’avons pas 𝑟 au dénominateur dans le membre de gauche de l’équation, nous pouvons nous en débarrasser en multipliant les deux côtés de l’équation par 𝑟 sur un. À gauche, 𝑟 au numérateur et 𝑟 au dénominateur s’éliminent. Et nous avons deux fois 𝑟 au carré plus 𝑟 plus un. Et à droite, sept fois 𝑟 sur un est égal à sept 𝑟.

Nous distribuerons ceci multiplié par deux sur les trois termes. Et puis, nous aurons deux 𝑟 au carré plus deux 𝑟 plus deux égalent sept 𝑟. Pour trouver 𝑟, nous allons vouloir poser cette équation entière égale à zéro. Et nous pouvons le faire en soustrayant sept 𝑟 des deux côtés. Nous aurons deux 𝑟 au carré moins cinq 𝑟 plus deux égale zéro. Et puis, nous allons vouloir factoriser pour trouver les valeurs de 𝑟. Deux est un nombre premier. Nous savons donc que l’une des parenthèses sera deux 𝑟 et l’autre sera 𝑟. Nous avons également une valeur constante de deux, ce qui signifie que nous aurons soit deux fois un, soit moins deux fois moins un.

Puisque notre terme du milieu est moins cinq, nous savons que nous aurons des valeurs négatives. Deux 𝑟 fois moins deux égale moins quatre 𝑟 et moins un fois 𝑟 égale moins un 𝑟. Moins un plus moins quatre égale moins cinq. Et donc les facteurs de ce polynôme sont deux 𝑟 moins un et 𝑟 moins deux. Nous les posons égaux à zéro. Pour trouver 𝑟, nous pouvons ajouter deux des deux côtés de cette équation. Et nous constatons que 𝑟 est égal à deux. Nous avons donc un cas où 𝑟 égale deux. Pour notre deuxième équation, nous ajoutons un des deux côtés : deux 𝑟 égale un. Et puis, nous divisons les deux côtés par deux pour obtenir 𝑟 égale un demi.

Nous avons trouvé deux cas. Nous avons trouvé le cas où 𝑟 est égal à deux et un deuxième cas où 𝑟 est égal à un demi. Pour trouver les autres valeurs, nous reviendrons à notre équation 𝑎 fois 𝑟 égale deux. Nous savons que 𝑎 fois 𝑟 égale deux. Nous devons considérer la valeur de 𝑎 si 𝑟 vaut deux et si 𝑟 vaut un demi. Si 𝑟 vaut deux, alors 𝑎 sera égal à un. Et si 𝑟 vaut un demi, alors 𝑎 va être égal à quatre. Dans le premier cas, nous savons qu’un fois deux donne deux et que deux fois deux donne quatre. Dans notre deuxième cas, nous avons quatre fois un demi égale deux et deux fois un demi égale un.

Si nous revenons à notre question, elle ne demande que trois nombres consécutifs d’une suite géométrique. Et de toute façon, les trois nombres consécutifs seront un, deux et quatre ou quatre, deux et un. Avant de finir ce problème, il convient de vérifier que ces trois valeurs répondent aux exigences qui nous ont été données.

La première condition est que la somme de ces trois valeurs soit sept. Un plus deux plus quatre égale sept, tout comme quatre plus deux plus un. La deuxième condition est que le produit de leur carré donne 64. Est-ce que un au carré fois deux au carré fois quatre au carré égale 64 ? Ce serait un fois quatre fois 16, c’est-à-dire 64. Et parce que nous pouvons multiplier dans n’importe quel ordre, quatre au carré fois deux au carré fois un au carré est également égal à 64. Et cela signifie que nous avons trouvé l’ensemble de trois nombres consécutifs sous ces deux conditions.

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