Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Calculer des arrangements pour trouver des inconnues Mathématiques

Si (𝑛 - 𝑚)₃ = 35 904 et 𝑛 + 𝑚 = 60. Determinez 𝑚 et 𝑛.

07:18

Transcription de vidéo

Si 𝑛 moins 𝑚 trois est égal à 35904 et 𝑛 plus 𝑚 est égal à 60. Determinez 𝑚 et 𝑛.

Nous cherchons les deux inconnues 𝑚 et 𝑛. Nous aurons donc besoin de deux équations. On nous donne dans l’énoncé deux équations. Parmi celles-ci, 𝑛 plus 𝑚 est égal à 60 est une relation simple entre 𝑛 et 𝑚. Donc notre première étape sera de transformer 𝑛 moins 𝑚 trois est égal à 35 904 en quelque chose de plus gérable. Si 𝑘 et 𝑟 sont des entiers positifs avec 𝑘 supérieur ou égal à un, alors la notation 𝑘 𝑟 représente le nombre d’arrangements de 𝑟 objets uniques tirés d’une collection de 𝑘 objets uniques et peut être calculé comme 𝑘 factorielle divisé par 𝑘 moins 𝑟 factorielle.

La factorielle d’un entier positif 𝑘 est le produit de tous les nombres entiers de un à 𝑘 inclus . Et ainsi elle obéit à la relation de récurrence 𝑘 factorielle est égal à 𝑘 fois 𝑘 moins un factorielle. De plus, nous définissons la factorielle de zéro comme égale à un. Notez que nous pouvons utiliser notre expression de la factorielle d’un nombre pour développer notre expression pour 𝑘 𝑟. Plus précisément, nous pouvons réécrire 𝑘 𝑟 comme 𝑘 fois 𝑘 moins un factorielle divisé par 𝑘 moins 𝑟 factorielle. Mais nous pouvons maintenant développer ceci davantage car en utilisant cette définition, 𝑘 moins un factorielle est égal à 𝑘 moins un fois 𝑘 moins deux factorielle.

En utilisant à nouveau la définition, nous pouvons remplacer 𝑘 moins deux factorielle par 𝑘 moins deux fois 𝑘 moins trois factorielle. Si nous répétons ce processus un total de 𝑟 fois, nous verrons que le numérateur est 𝑘 fois 𝑘 moins un fois 𝑘 moins deux fois 𝑘 moins trois et ainsi de suite jusqu’à 𝑘 moins 𝑟 plus un fois 𝑘 moins 𝑟 factorielle. Mais le facteur 𝑘 moins 𝑟 factorielle au numérateur divisé par le facteur 𝑘 moins 𝑟 factorielle au dénominateur est égal à un. Donc tout cela se réduit au produit de 𝑟 entiers consécutifs, 𝑘 fois 𝑘 moins un fois 𝑘 moins deux et ainsi de suite jusqu’à 𝑘 moins 𝑟 plus un.

En fait, nous utilisons généralement la forme factorielle parce qu’elle est beaucoup plus compacte. Cependant, lorsque nous essayons de résoudre des équations, en règle générale, nous devons développer ces factorielles. Donc savoir que nous pouvons développer directement 𝑘 𝑟 comme le produit de ces 𝑟 termes est très utile. En particulier, l’équation qui nous est donnée a pour valeur de 𝑟 égale trois. Nous avons donc besoin que des trois termes à savoir 𝑛 moins 𝑚, 𝑛 moins 𝑚 moins un et 𝑛 moins 𝑚 moins deux. Ainsi nous devons maintenant résoudre 𝑛 moins 𝑚 fois 𝑛 moins 𝑚 moins un fois 𝑛 moins 𝑚 moins deux est égal à 35904. Il convient de mentionner qu’il aurait été beaucoup plus difficile de parvenir à cette équation si nous avions eu à suivre le processus complet d’évaluation des factorielles.

Pour utiliser cette équation dans le but de nous aider à trouver 𝑚 et 𝑛, nous allons essayer de trouver le terme 𝑛 moins 𝑚 en utilisant une approche essaie erreur modifiée. Plus précisément, nous savons que les trois termes du membre de gauche sont des entiers consécutifs tous supérieurs à un. Nous pourrions maintenant simplement sélectionner des valeurs aléatoires pour 𝑛 moins 𝑚 et taper le produit sur une calculatrice jusqu’à ce que nous trouvions la bonne réponse. En fait, si nous sommes malins quant aux valeurs que nous choisissons, nous pouvons garantir que nous trouverons la bonne réponse en un temps assez court.

Il existe cependant, un moyen beaucoup plus direct d’approximer la bonne réponse. Nos trois entiers sont multipliés pour donner un certain produit. Mais ceci signifie que si nous prenons la racine cubique du produit, celle-ci sera très proche de la valeur moyenne des trois entiers. En fait, ceci fonctionne quel que soit le nombre d’entiers dont nous faisons le produit. Par exemple, la racine 10ème du produit de 10 entiers consécutifs est très proche de la valeur moyenne de ces 10 entiers. Si nous tapons la racine cubique de 35904 dans une calculatrice, nous constatons qu’elle est très proche de 32,99. 32,99 est très proche de l’entier 33. Mais ceci signifie que 33 est une très bonne estimation de 𝑛 moins 𝑚 moins un, qui est la valeur moyenne de nos trois entiers.

Notez que 𝑛 moins 𝑚 moins un est aussi le nombre consécutif du milieu parce que pour un groupe d’entiers consécutifs, la médiane et la moyenne arithmétique sont identiques. Quoi qu’il en soit, si 𝑛 moins 𝑚 moins un est égal à 33, alors 𝑛 moins 𝑚 moins deux est égal à 32 et 𝑛 moins 𝑚 est égal à 34. Et en fait, si nous multiplions 34 fois 33 fois 32, nous constatons que ce produit est exactement égal à 35904. Donc 𝑛 moins 𝑚 est égal à 34. Maintenant, nous obtenons exactement ce que nous recherchions. 𝑛 plus 𝑚 est égal à 60 est une relation linéaire simple entre 𝑛 et 𝑚 et il en est de même pour 𝑛 moins 𝑚 est égal à 34. Ainsi nous n’avons maintenant besoin que d’utiliser ces deux équations pour trouver les deux inconnues.

Si nous commençons par 𝑛 plus 𝑚 est égal à 60 et que nous ajoutons 𝑛 moins 𝑚 est égal à 34, nous obtenons 𝑛 plus 𝑛 est égal à deux 𝑛, 𝑚 moins 𝑚 est égal à zéro et 60 plus 34 est égal à 94. Maintenant nous divisons les deux membres par deux pour trouver que 𝑛 est égal à 47 . Nous avons maintenant trois manières pour déterminer 𝑚. Nous pouvons soit placer 47 dans 𝑛 plus 𝑚 est égal à 60 soit dans 𝑛 moins 𝑚 est égal à 34. Ou nous pouvons soustraire ces deux équations pour obtenir une expression pour deux 𝑚 indépendante de la valeur de 𝑛. Juste pour la démonstration, nous allons utiliser la dernière méthode et soustraire 𝑛 moins 𝑚 est égal à 34 de 𝑛 plus 𝑚 est égal à 60.

𝑛 moins 𝑛 est égal à zéro. 𝑚 moins moins 𝑚 est 𝑚 plus 𝑚, qui est égal à deux 𝑚. Et 60 moins 34 est égal à 26. Donc en divisant les deux membres par deux, nous trouvons que 𝑚 est égal à 13. Notez que nous avons trouvé cette valeur pour 𝑚 sans utiliser le fait que nous savions déjà que 𝑛 était égal à 47, ce qui signifie que nous aurions pu l’utiliser d’abord pour trouver que 𝑚 était égal à 13 puis déterminer 𝑛 par la suite. Quel que soit l’ordre que nous aurions choisi lors des calculs, nous aurions trouvé que 𝑛 est égal à 47 et 𝑚 à 13.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.