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Vidéo de question : Étude de l’équilibre d’un corps posé sur un plan incliné rugueux dans différentes conditions Mathématiques

Un corps pesant 60 N est au repos sur un plan incliné et rugueux. Une force d’intensité 𝐹 agit sur le corps suivant une ligne d'action vers le haut de la ligne de plus grande pente du plan. Lorsque 𝐹 = 67 N, le corps est sur le point de se déplacer vers le haut du plan, et lorsque 𝐹 = 36 N, il est sur le point d'aller vers le bas. Déterminez la mesure de l'angle d'inclinaison du plan, à la minute d'arc près.

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Transcription de vidéo

Un corps pesant 16 newtons est au repos sur un plan incliné et rugueux Une force d’intensité 𝐹 agit sur le corps suivant une ligne d'action vers le haut de la ligne de plus grande pente du plan. Lorsque 𝐹 est égale à 67 newtons, le corps est sur le point de se déplacer vers le haut du plan, et lorsque 𝐹 est égale à 36 newtons il est sur le point d'aller vers le bas. Déterminez la mesure de l'angle d'inclinaison du plan, à la minute d'arc près.

Il y a beaucoup d’informations ici et nous allons commencer par faire un schéma. Nous avons un corps qui repose sur un plan incliné. Maintenant, nous ne connaissons pas l’angle d’inclinaison de ce plan par rapport à l’horizontale. Alors, appelons le 𝜃 ou 𝜃 degrés. Mais on nous a dit que le corps pèse 60 newtons. C’est-à-dire que la force qu’il exerce sur le plan vers le bas est de 60 newtons. Bien sûr, nous savons que cela signifie qu’il existe une force de réaction du plan sur le corps et que cette force agit perpendiculairement au plan.

Ensuite, nous avons la force F qui agit sur le corps et dont la ligne d’action est selon la plus grande pente du plan. C’est-à-dire qu’elle agit dans une direction parallèle au plan. On nous donne ensuite deux informations sur l’intensité ou la valeur de cette force. Lorsque 𝐹 vaut 67 newtons, le corps est sur le point de monter sur le plan. Cela signifie deux choses. Le corps est à la limite de l’équilibre donc la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur lui est nulle. Mais comme le corps est sur le point de monter sur le plan, ou est sur le point de monter sur le plan, la force de frottement agit dans le sens opposé à la force ; elle agit vers le bas du plan. Alors, appelons ce scénario a. Nous allons commencer par déterminer les forces parallèles au plan, en nous souvenant, bien sûr, que nous avons dit que la somme vectorielle de ces forces est nulle.

Une autre façon de penser à cela est de dire que les forces qui agissent parallèlement vers le haut du plan doivent être égales aux forces qui agissent parallèlement vers le bas du plan. Nous avons 𝐹, qui vaut 67 newtons, agissant vers le haut du plan. Cette force va être égale à la force de frottement, qui agit dans le sens opposé, plus la composante du poids qui agit parallèlement au plan. Si nous dessinons un petit triangle rectangle comme indiqué, nous pouvons utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle pour déterminer la valeur de 𝑥. 𝑥 est le côté opposé dans ce triangle. Et ℎ, l’hypoténuse, vaut 60 newtons. Nous pouvons donc utiliser le sinus, avec sinus 𝜃 égal à 𝑥 sur 60, puis multiplier par 60. Donc, 𝑥 est égal à 60 sinus 𝜃.

Nous allons faire de même pour l’autre valeur de 𝐹. Maintenant, la force vaut 36 newtons et l’objet est sur le point de descendre le plan. Cela signifie que la force de frottement va agir dans le sens opposé ; elle est dirigée vers le haut du plan. Donc, encore une fois, nous travaillons avec les forces parallèles au plan. Nous avons 36 newtons dirigés vers le haut du plan plus la force de frottement. Cette somme est égale à la composante du poids qui agit parallèlement au plan, donc 60 sinus 𝜃 à nouveau.

Et nous pourrions être tentés de déterminer une valeur pour la force de frottement. Pour cela, il faudrait déterminer les forces perpendiculaires au plan, puis utiliser le fait que la force de frottement vaut 𝜇𝑅. C’est le coefficient de frottement fois 𝑅, la force de réaction. Mais en fait, si nous regardons de plus près, nous pouvons voir que nous avons un système de deux équations avec les inconnues la force de frottements et 𝜃. Et donc, si nous éliminons la force de frottement dans ce système d’équations, nous pourrons calculer 𝜃.

Modifions la première équation en soustrayant 60 sinus 𝜃 des deux côtés. Ensuite, nous remplaçons l’expression de la force de frottement dans la deuxième équation. Donc, 36 plus 67 moins 60 sinus 𝜃 égale 60 sinus 𝜃. Nous simplifions en sommant 36 et 67, puis nous ajoutons également 60 sinus 𝜃 aux deux membres de l’équation. Donc, 103 est égal à 120 sinus 𝜃. Puis, nous divisons par 120. Donc, sinus 𝜃 est égal à 103 divisé par 120. Prenons le sinus inverse, ou arc sinus, aux deux membres de l’équation pour déterminer 𝜃. Cela nous donne 59,12 etc.

Maintenant, dans l’énoncé, la question consiste à déterminer la mesure de l’angle d’inclinaison du plan en arrondissant le résultat à la minute, si nécessaire. En utilisant la fonction conversion sur la calculatrice, nous obtenons 59 degrés, sept minutes et 47,8 secondes. En arrondissant à la minute près, nous obtenons 57 degrés et huit minutes.

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