Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐚 est égal au vecteur un, cinq et que 𝐛 est égal au vecteur moins sept, trois, quelles sont les composantes de deux 𝐚 plus deux 𝐛 et de deux fois 𝐚 plus 𝐛 ?
Les deux vecteurs de la question sont 𝐚, qui est égal à un, cinq, et 𝐛, qui est égal à moins sept, trois. On nous a demandé de calculer deux choses : deux 𝐚 plus deux 𝐛 et deux fois 𝐚 plus 𝐛. Nous commencerons par trouver le premier d’entre eux.
Pour effectuer cette somme, nous devons calculer deux 𝐚 et deux 𝐛. Cela nécessitera une multiplication scalaire de vecteurs, rappelons donc comment faire. Si nous multiplions le vecteur 𝑐, 𝑑 par le scalaire 𝑘, alors nous obtiendrons le vecteur 𝑘𝑐, 𝑘𝑑. Essentiellement, nous multiplions chacune des composantes du vecteur par le scalaire. Nous avons que le vecteur 𝐚 est égal à un, cinq et nous devons trouver deux 𝐚. Nous multiplions donc simplement chacune des composantes par deux. Nous obtenons que deux 𝐚 est égal à deux, 10. De même, puisque 𝐛 est égal à moins sept, trois, nous obtenons que deux 𝐛 est égal à moins 14, six.
Maintenant que nous avons trouvé deux 𝐚 et deux 𝐛, nous devons simplement les additionner. Rappelons rapidement comment additionner deux vecteurs. Si nous ajoutons les vecteurs 𝑐, 𝑑 et 𝑚, 𝑛, alors nous obtiendrons le vecteur 𝑐 plus 𝑚, 𝑑 plus 𝑛. Nous ajoutons simplement les composantes correspondantes des deux vecteurs. Maintenant, nous pouvons appliquer cela aux vecteurs deux 𝐚 et deux 𝐛. Nous avons que deux 𝐚 plus deux 𝐛 est égal à deux, 10 plus moins 14, six. Maintenant, nous ajoutons les composantes correspondantes de ces vecteurs. Nous obtenons donc, deux plus moins 14, 10 plus six. En simplifiant cela, nous obtenons moins 12, 16. Par conséquent, la solution à la première partie de cette question est que deux 𝐚 plus deux 𝐛 donne le vecteur moins 12, 16.
Ensuite, nous pouvons passer à la recherche de deux fois 𝐚 plus 𝐛. Il y a deux façons de trouver cela. Dans la première méthode, nous commencerons par trouver 𝐚 plus 𝐛 en utilisant la somme vectorielle. Nous avons que 𝐚 plus 𝐛 est égal à un, cinq plus moins sept, trois. Nous ajoutons les composantes correspondantes des deux vecteurs et simplifions. Par conséquent, nous avons que 𝐚 plus 𝐛 est égal à moins six, huit. Afin de trouver deux 𝐚 plus 𝐛, nous devons multiplier ce vecteur par le scalaire deux. En utilisant la multiplication scalaire d’un vecteur, nous multiplions chacune des composantes par la constante. Ce faisant, nous arrivons à résoudre la deuxième partie de la question, à savoir que deux fois 𝐚 plus 𝐛 donne le vecteur moins 12, 16.
Il existe cependant une autre méthode que nous aurions pu utiliser pour parvenir à cette solution. Cette méthode implique la propriété distributive de la multiplication scalaire sur l’addition de vecteurs. Cette propriété nous indique que le multiple scalaire d’une somme de vecteurs est égal à la somme du multiple scalaire multiplié par chacun des vecteurs. En d’autres termes, 𝑘 multiplié par 𝐚 plus 𝐛 est égal à 𝑘 fois 𝐚 plus 𝑘 fois 𝐛. Nous pouvons l’appliquer à deux fois 𝐚 plus 𝐛. Cela nous donne deux 𝐚 plus deux 𝐛, ce que nous pouvons voir comme étant le résultat que nous avons trouvé dans la première partie de la question. Par conséquent, nous arrivons à la même solution de moins 12, 16.