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Vidéo de la leçon : Évènements complémentaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la probabilité d’événements complémentaires.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la probabilité d’événements complémentaires. On va commencer par rappeler quelques règles de probabilité qu’on devrait déjà connaître, puis définir ce qu’on entend par évènement complémentaire.

On sait que pour tout événement 𝐴, la probabilité que l’événement 𝐴 se produise, écrit 𝑃 de 𝐴, doit être supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à un. Si la probabilité est égale à zéro, l’évènement est impossible, et si la probabilité est égale à un, l’évènement est certain. On peut écrire une probabilité sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Si on l’écrit sous forme de pourcentage, alors la probabilité de 𝐴 est supérieure ou égale à zéro pour cent et inférieure ou égale à 100 pour cent. On sait également que la somme des probabilités de toutes les issues possibles d’un événement est égale à un.

Par exemple, supposons qu’on a quatre balles rouges et trois balles bleues dans un sac. La probabilité de sélectionner une balle rouge est de quatre sur sept ou quatre septièmes. Le numérateur est le nombre de résultats positifs, dans ce cas, les quatre balles rouges. Le dénominateur est le nombre d’issues possibles, dans ce cas, sept car il y a un total de sept balles dans le sac. La probabilité de sélectionner une balle bleue est de trois septièmes car il y a trois balles bleues dans le sac. Puisqu’il n’y a que deux couleurs, la probabilité de sélectionner une balle rouge plus la probabilité de sélectionner une balle bleue doit être égale à un. Quatre-septièmes plus trois-septièmes est égal à sept-septièmes, ce qui est égal à un.

Le complémentaire d’un événement est l’ensemble des issues possibles qui ne sont pas notre événement. Cela nous amène à une troisième règle. La probabilité du complémentaire de l’événement 𝐴 - en d’autres termes, non 𝐴, qui est écrit 𝐴 bar - est définie par la probabilité de non 𝐴 est égale à un moins la probabilité de 𝐴. On écrit parfois le complémentaire comme 𝐴 prime. Grâce à l’exemple ci-dessus, on peut calculer la probabilité de ne pas sélectionner une balle rouge, le complémentaire de la balle rouge. Cela est égal à un moins quatre septièmes car quatre septièmes était la probabilité de sélectionner une balle rouge. Un moins quatre septièmes égale trois septièmes. La probabilité de ne pas sélectionner une balle rouge est de trois septièmes.

On remarque que c’est la même chose que la probabilité de sélectionner une balle bleue. Ceci parce qu’il n’y a que deux options possibles lors de la sélection d’une balle dans le sac, rouge ou bleue. La probabilité de ne pas sélectionner une balle rouge sera égale à la probabilité de sélectionner une balle bleue et vice versa. On va maintenant examiner quelques questions dans lesquelles on doit calculer la probabilité d’un événement complémentaire.

Si la probabilité qu’un événement se produise est de 11 sur 30 ou onze trentièmes, quelle est la probabilité que cet événement ne se produise pas ?

On sait que la probabilité qu’un événement ne se produise pas est appelée l’événement complémentaire. Ceci est noté 𝐴 bar ou 𝐴 prime, et la probabilité de 𝐴 bar est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Dans cette question, on nous dit que la probabilité que l’événement se produise est de 11 sur 30. Si on appelle cet événement 𝐴, alors la probabilité de 𝐴 est égale à onze trentièmes ou 11 sur 30. On peut alors calculer la probabilité que l’événement ne se produise pas en la soustrayant de un. Un est égal à 30 sur 30 ou trente trentièmes. Puisque les dénominateurs sont égaux, on soustrait simplement les numérateurs, ce qui donne 19 sur 30 ou 19 trentièmes. La probabilité que l’événement ne se produise pas est donc égale à 19 sur 30.

La question suivante consiste à calculer la probabilité à l’aide de nombres décimaux et de pourcentages.

Si la probabilité qu’un élève réussisse à un examen est de 39 pour cent, quelle est la probabilité que l’élève échoue ?

Puisqu’il n’y a que deux possibilités dans ce scénario, l’étudiant peut réussir ou échouer, ce sont les complémentaires l’un de l’autre. On sait que la probabilité d’un événement complémentaire, noté 𝐴 bar, est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Lorsqu’on a des pourcentages, un est égal à 100 pour cent. Sachant que la probabilité que l’élève réussisse est de 39 pour cent, la probabilité que l’élève échoue sera de 100 pour cent moins 39 pour cent. Cela revient à dire que l’élève ne réussit pas l’examen et est égal à 61 pour cent.

On pourrait également écrire cette réponse sous forme de fraction ou de nombre décimal. Puisque les pourcentages sont sur 100, on peut écrire cela sous forme de fraction comme 61 sur 100 ou soixante et un centièmes. Sous forme décimale, cela est égale à 0,61 car le trait dans une fraction signifie diviser et 61 divisé par 100 égale 0,61. La probabilité que l’élève échoue à l’examen est de 61 pour cent, 61 sur 100 ou 0,61.

Une autre méthode consisterait à d’abord convertir 39 pour cent en fraction trente-neuf centièmes ou en décimal 0,39. On pourrait alors soustraire l’un ou l’autre de un pour calculer le complémentaire, qui est égal à soixante et un centièmes ou 0,61.

Les deux questions suivantes sont des problèmes plus complexes dans leur contexte.

Une boîte contient 56 balles. La probabilité de sélectionner de façon aléatoire une balle rouge est de cinq septièmes. Combien de balles dans la boîte ne sont pas rouges ?

L’événement de sélectionner une balle rouge et l’événement de sélectionner une balle non rouge sont des événements complémentaires. La probabilité du complémentaire de 𝐴, noté 𝐴 bar, est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Dans cette question, on nous dit que la probabilité de sélectionner une balle rouge, 𝑃 de 𝑅, est égale à cinq septièmes. Cela signifie que la probabilité de sélectionner une balle qui n’est pas rouge est de un moins cinq-septièmes. Cela est égal à deux septièmes. La somme de la probabilité qu’un événement se produise et son complémentaire doit toujours être égale à un.

On nous dit aussi dans cette question qu’il y a 56 balles dans la boite. Deux septièmes de ces 56 balles ne sont pas rouges, on doit donc calculer deux septièmes de 56. Puisque le mot «de» en mathématiques signifie multiplier, on doit multiplier deux septièmes par 56. 56 est équivalent à 56 sur un. On peut alors éliminer ou simplifier en divisant 56 et sept par sept. Cela nous donne deux sur un multiplié par huit sur un, ce qui est égal à 16 sur un. On multiplie les numérateurs et les dénominateurs séparément. Puisque cela est égal à 16, on peut conclure que 16 des 56 balles dans le sac ne sont pas rouges.

Une autre méthode consisterait à d’abord calculer le nombre de balles rouges. On peut le faire en calculant cinq septièmes de 56. Cela est égal à 40, donc nous avons 40 balles rouges dans la boîte. Cela signifie que les autres balles ne sont pas rouges. 56 moins 40 est égal à 16. Cela prouve encore une fois qu’il y a 16 balles dans la boîte qui ne sont pas rouges.

Une classe compte 45 élèves. La probabilité de choisir de façon aléatoire un élève de 10 ans ou moins est de deux tiers. Combien d’élèves dans la classe ont 11 ans ou plus ?

Il y a deux possibilités lorsqu’on sélectionne un élève dans cette question. Ils peuvent avoir 10 ans ou moins, ou 11 ans ou plus. On appelle ces possibilités des événements complémentaires. On sait que la probabilité qu’un événement complémentaire, 𝐴 bar, se produise est égale à un moins la probabilité de 𝐴, que l’événement se produise. On nous dit dans la question que la probabilité de choisir un élève de 10 ans ou moins est égale à deux tiers. Cela signifie que la probabilité de choisir un élève qui n’ait pas 10 ans ou moins est égale à un tiers, car un moins deux tiers est égal à un tiers. Cela revient à dire que la probabilité de choisir un élève de 11 ans ou plus est d’un tiers. Un tiers des 45 élèves ont 11 ans ou plus.

On peut calculer ce nombre en multipliant un tiers par 45. Multiplier un nombre par un tiers revient à diviser ce nombre par trois. On sait que quatre divisé par trois est égal à un il reste un. 15 divisé par trois est égal à cinq. Puisque 45 divisé par trois est égal à 15, un tiers multiplié par 45 est aussi 15. Il y a 15 élèves dans la classe qui ont 11 ans ou plus. Une autre méthode consisterait à calculer d’abord deux tiers de 45. Qui représente le nombre d’élèves âgés de 10 ans ou moins. Puisque un tiers multiplié par 45 égale 15, deux tiers multipliés par 45 égale 30. Il y a 30 élèves dans la classe qui ont 10 ans ou moins.

Sachant que 30 élèves ont 10 ans ou moins, on peut soustraire cela de 45 pour calculer le nombre d’élèves de 11 ans ou plus. Encore une fois, cela nous donne une réponse de 15 élèves.

Notre dernière question dans cette vidéo consiste à utiliser un tableau de fréquences bidirectionnelles.

Le tableau contient les données recueillies auprès de 200 participants de différentes nationalités. Déterminez la probabilité qu’un participant sélectionné de façon aléatoire ne parle pas anglais.

Les lignes dans notre tableau indiquent si le participant est un homme ou une femme. Les colonnes indiquent quelle langue ils parlent, l’arabe, l’anglais ou le français. On nous dit dans la question qu’il y a un total de 200 participants. Si on suppose que A est l’événement que le participant parle anglais, on peut calculer la probabilité de l’événement A. Ce sera le nombre de participants qui parlent anglais sur le nombre total de participants.

Il y a 35 hommes qui parlent anglais et 30 femmes, ce qui nous donne un total de 65 personnes. La probabilité qu’un participant choisi de façon aléatoire parle anglais est de 65 sur 200 ou de soixante-cinq deux centièmes. On s’intéresse à la probabilité que le participant ne parle pas anglais. Notamment le complémentaire de cet évènement. On sait que la probabilité qu’un événement complémentaire, 𝐴 bar, se produise est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Dans cette question, la probabilité de 𝐴 bar, le participant ne parle pas anglais, est égal à un moins 65 sur 200. Qui est égal à 135 sur 200.

On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par cinq. 135 divisé par cinq égale 27 et 200 divisé par cinq est égal à 40. La probabilité qu’un participant choisi de façon aléatoire ne parle pas anglais est de 27 sur 40 ou de vingt-sept quarantièmes. On pourrait également écrire cette réponse sous forme décimale en considérant d’abord la fraction 135 sur 200. Lorsqu’on divise le dénominateur par deux on obtient 100. Si on divise le numérateur par deux, on obtient 67,5 car la moitié de 100 est 50 et la moitié de 35 est 17,5. Si on divise 67,5 par 100, on obtient 0,675. La probabilité que le participant sélectionné de façon aléatoire ne parle pas anglais, sous forme décimale, est de 0,675. On peut également écrire cela sous forme de pourcentage en multipliant par 100, ce qui nous donne 67,5 pour cent.

On va maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Pour un événement 𝐴, si 𝑃 de 𝐴 est la probabilité que l’événement 𝐴 se produise, les règles suivantes sont valides. Lorsque la probabilité est écrite sous forme de fraction ou de nombre décimal, 𝑃 de 𝐴 doit être supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à un. En pourcentage, cela doit être compris entre zéro et 100 pour cent. La somme des probabilités de toutes les issues doit être égale à un. On a également vu que la probabilité du complémentaire de 𝐴, noté 𝐴 bar, est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Le complémentaire veut dire la probabilité que l’événement ne se produise pas. Il est également important de noter qu’on peut souvent écrire le complémentaire d’un événement comme 𝐴 prime.

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