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Vidéo de question : Calculer le volume d’un cône à partir de sa hauteur et de sa génératrice Mathématiques

Déterminez le volume du cône circulaire droit en fonction de 𝜋.

04:10

Transcription de vidéo

Déterminez le volume du cône circulaire droit en fonction de 𝜋.

Pour calculer le volume d’un cône, on utilise en réalité la formule de la pyramide car techniquement, un cône est une pyramide circulaire. Cette formule est un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Et puisque la base est un cercle, on peut remplacer 𝐵 par 𝜋𝑟 au carré. Le volume d’un cône est donc égal à un tiers de 𝜋 fois 𝑟 au carré, où 𝑟 est le rayon du cercle, fois la hauteur du cône.

En regardant le schéma, nous pouvons voir que la hauteur est de 48 centimètres mais nous ne connaissons pas le rayon. Nous pouvons cependant le calculer en utilisant ce triangle rectangle. Et nous allons pour cela utiliser le théorème de Pythagore.

Mais avant de l’appliquer, voyons ce que nous connaissons sur ce triangle rectangle. La hauteur de ce triangle est exactement la même que la hauteur de la pyramide. Donc, elle mesure 48 centimètres. Le côté le plus long de ce triangle rectangle mesure 60 centimètres, car c’est une longueur connue du cône. Si la génératrice est en effet de 60 centimètres sur un côté, alors elle est également de 60 centimètres sur l’autre côté.

Et nous pouvons à présenter utiliser le théorème de Pythagore pour calculer le rayon. Le théorème de Pythagore stipule que la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du côté le plus long. Remplaçons donc ces valeurs. Et on désigne le rayon par 𝑥 au lieu d’un point d’interrogation.

𝑥 au carré plus 48 au carré égale 60 au carré. 𝑥 au carré égale 𝑥 au carré. 48 au carré égale 2 304. Et 60 au carré égale 3 600. On soustrait ensuite 2 304 aux deux membres de l’équation. Et on trouve que 𝑥 au carré est égal à 1 296. La dernière étape consiste maintenant à prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. Ce qui donne 𝑥 égale 36, qui est la longueur du rayon.

Maintenant que nous savons que le rayon mesure 36 centimètres et que la hauteur mesure 48 centimètres, nous pouvons remplacer ces valeurs dans la formule du volume d’un cône. Le volume est ainsi égal à un tiers de 𝜋 fois 36 centimètres au carré fois 48 centimètres. Commençons par élever 36 centimètres au carré. 36 centimètres au carré égale 1 296 centimètres carrés.

Remarquez que nous aurions pu légèrement simplifier les calculs car lorsque nous avons calculé le rayon, nous aurions pu en rester à l’étape où le rayon au carré était égal à 1 296 et le remplacer directement dans la formule. Nous pouvons cependant continuer et calculer ce produit. Et on rappelle que nous devons donner notre réponse en fonction de 𝜋. Nous n’allons donc pas multiplier par 𝜋. Mais le laisser tel quel dans la réponse.

Nous allons ici commencer par multiplier les deux grands nombres, puis nous multiplierons par un tiers. Ce produit est égal à 62 208 centimètres cubes. Parce que nous avons multiplié des centimètres carrés par des centimètres. Lorsque l’on multiplie, on additionne les exposants, et un volume doit donc être en centimètres cubes. Très bien. Notre dernière étape consiste maintenant à multiplier 62 208 par un tiers.

Et en laissant notre réponse en fonction de 𝜋, nous obtenons 20 736 𝜋 centimètres cubes.

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