Vidéo : Comment additionner les nombres jusqu’à 100 plus vite que votre professeur

Dans cette vidéo, nous faisons connaissance du brillant mathématicien Carl Friedrich Gauss, et nous voyons comment il a surpris son professeur de mathématiques en additionnant tous les nombres de 1 à cent en un temps super rapide.

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Transcription de vidéo

Nous allons voir une méthode pour additionner tous les nombres de un à 100 ou 1000 ou même plus, très rapidement. Mais tout d’abord, nous allons faire connaissance d’un braillant mathématicien allemand nommé Johann Carl Friedrich Gauss, qui a pu concevoir cette méthode sous l’impulsion du moment lorsqu’il avait huit ans, au grand mécontentement de son professeur ! S’il n’avait pas montré une certaine réticence à présenter sa solution complète, Gauss aurait été mon mathématicien préféré. Il est né en Allemagne en 1777, et a montré une incroyable aptitude aux mathématiques à un très jeune âge.

Par exemple, on dit que sa mère, qui ne pouvait ni lire ni écrire, n’a jamais noté sa date de naissance, mais se souvient qu’il a été né un mercredi, et que c’était huit jours avant la fête de l’Ascension cette année-là. Selon la tradition chrétienne, l’Ascension est célébrée quarante jours après Pâques, dont la date varie chaque année d’après les phases de la Lune. Gauss a vite utilisé cette information pour en déduire qu’il doit être né le 30 avril. Mais ce n’est pas tout ce qu’il a fait, il a aussi trouvé une méthode pour connaître la date de Pâques pour les années passées et à venir.

J’aime particulièrement cette approche de ne pas juste répondre à la question avec la plus proche interprétation possible, mais où l’on trouve une approche générale qu’on peut utiliser pour répondre à des questions semblables dans l’avenir. Les mathématiques peuvent être utilisées pour décrire et comprendre la structure et la nature du monde autour de nous afin de pouvoir en faire des prédictions dans l’avenir. J’admire aussi l’enthousiasme et la ténacité de Gauss.

Beaucoup de personnes seront fâchées contre leur mère si elle leur donne une énigme si compliquée comme réponse à la question « c’est quand mon anniversaire ? » Mais il résolut le problème joyeusement puis trouva une solution générale pour beaucoup de problèmes semblables. Lorsque mon fils de huit ans m’a demandé quel âge ai-je, j’ai répondu « bon, dans sept ans, mon âge sera plus petit que trois fois ton âge pour la première fois. » Mais il ne s’est pas embêté à faire le calcul et a dit « bon, je vais demander à maman.»

L’une des premières réalisations de Gauss était de montrer comment les polygones réguliers peuvent être construits à l’aide d’un compas et d’une règle droite, si le nombre de leurs côtés est le produit des nombres premiers de Fermat et la puissance de deux. Il apporta aussi beaucoup d’autres contributions mathématiques, y compris la preuve de la loi de réciprocité quadratique, qui nous permet de savoir si une équation du second degré peut être résolue dans l’arithmétique modulaire. Il a mené d’importants travaux sur le théorème des nombres premiers pour nous aider à comprendre comment les nombres premiers sont répartis entre les nombres entiers. Il ne pouvait savoir comment ce genre de travaux deviendra utile à l’ère d’Internet, où l’on utilise les nombres premiers pour nous aider à chiffrer les messages sécurisés dans les transactions sur Internet, et comment leur compréhension devint une question de sécurité.

Il a travaillé sur divers genres de géométrie, magnétisme, levés géodésiques, a facilité les calculs astronomiques les rendant plus efficaces, et les analyses de régression des moindres carrés. Et la loi normale porte son nom, loi gaussienne. Bref, nous bénéficions tous de son travail de toutes sortes de façons tous les jours, depuis les méthodes statistiques utilisées pour évaluer les nouveaux médicaments, à la régression utilisée par les algorithmes d’apprentissage automatique qui nous aident à améliorer l’efficience et l’efficacité de notre prise de décision.

Mais ce que je veux voir dans cette vidéo c’est l’histoire où Gauss n’avait que huit ans, et a utilisé son intelligence en mathématiques pour résoudre un problème qui apparemment lui a été donné par son professeur de mathématiques comme punition. D’après la plupart des anecdotes, il est impossible de savoir ce qui s’est exactement passé. Et selon où vous faites vos recherches, vous trouverez des versions légèrement différentes de cette histoire et de son âge à l’époque. Mais celle-ci est ma version préférée.

On dit souvent que Gauss était un enfant prodige. Et ses professeurs à l’école le trouvaient difficile à traiter car il était trop agité en classe, il savait tellement de choses et pensait très rapidement ! Dans un récit on raconte qu’un jour son professeur lui a demandé de s’assoir et d’additionner tous les nombres de un à 100, juste pour essayer de le garder calme pendant un certain moment. Il a pensé qu’il lui faudra énormément de temps pour calculer « un plus deux égale trois », « trois plus trois égale six », « six plus quatre est 10 », « 10 plus cinq est 15 », « 15 plus six est 21 », et ainsi de suite jusqu’à 100. Mais il trouva très rapidement la bonne réponse, 5050.

Au lieu de faire tous les calculs individuels, Gauss se rendu compte que s’il écrit tous les nombres de un à 100, il pourra les ranger en paires de nombres dont la somme vaut 101. Donc un plus 100 égale 101, deux plus 99 égale 101, trois plus 98 égale 101, et ainsi de suite jusqu’à 50 plus 51 égale 101. Il termina par avoir 50 paires ayant chacune une somme de 101. Et la somme totale est donc 50 groupes de 101 ou 50 fois 101. Et cinq fois 101 est 505 et 10 fois 505 est 5050. Travail accompli !

C’est vrai que c’est une méthode habile, mais essayons de la généraliser ; est-ce possible de décrire la méthode ou de l’écrire sous la forme d’une formule afin de l’utiliser dans des problèmes semblables ? Dans cet exemple, nous additionnons 100 nombres consécutifs. Et on a pu les regrouper en la moitié de ce nombre – 50 paires formées chacune de nombres ayant une somme de 101, qui est la somme du premier nombre, un, plus de dernier nombre, 100, donnant un total de 101. Donc si l’on généralise disant que nous avons 𝑛 nombres, plutôt que précisément 100 nombres, alors on peut écrire notre méthode mathématiquement.

Dans des mots, nous avons la somme des nombres de un à 𝑛 égale la moitié du nombre des nombres – et c’est le nombre des paires – fois la somme du premier et de dernier nombre. Appelons cette somme 𝑠 et le nombre des nombres 𝑛. Donc la moitié du nombre des nombres est 𝑛 sur deux. Et nous multiplions cela par la somme du premier et du dernier nombre. Donc un, le premier nombre, plus 𝑛, le dernier nombre, quel que soit ce nombre. Donc la formule générale est la somme 𝑠 est égale à 𝑛 sur deux fois un plus 𝑛.

Maintenant écrivons cette formule en représentant, pas à pas, les calculs que nous avons faits. Mais cela est peut-être un peu inquiétant. Ça a bien marché lorsque nous avions un nombre pair d’éléments dans la liste à additionner, mais est-ce que ça marcherait toujours si nous avions un nombre impair d’éléments ? Ainsi, l’appariement des nombres nous laissera un nombre au milieu que l’on doit en tenir compte.

Considérons une plus petite liste pour faciliter les choses. Par exemple, si nous additionnons tous les nombres entiers de un à cinq, alors nous aurons un plus cinq égale six, deux plus quatre égale six. Mais il nous restera ce nombre au milieu. Donc si cela était le point de début de notre problème, nous aurions dit que de cinq nombres, on peut apparier quatre et créer deux paires, et ainsi il nous restera ce nombre au milieu. Et ce trois est la moyenne du premier et du dernier nombre de la suite. Donc un plus cinq, additionnons-les ensemble, divisons par deux puisqu’il y a deux nombres ici. Et on obtient six sur deux, qui est trois.

Et si l’on essaie de créer notre formule générale à partir de ce raisonnement, alors on dira que la somme des nombres est égale à la somme des paires plus le nombre du milieu. Alors, quelle est la somme des paires des nombres ? Nous avons cinq nombres et nous en avons utilisé quatre pour former deux paires. Donc quel que soit le nombre des nombres que nous avons, 𝑛, si nous diminuons ce nombre de un, alors nous saurons combien de nombres nous pouvons apparier. Et le nombre de paires sera la moitié de ce nombre puisque chaque paire consiste en deux nombres. Et la somme de chaque paire est toujours le premier plus le dernier nombre.

Donc nous allons multiplier ce nombre de paires par la somme de chaque paire, un plus 𝑛. Et nous avons dit que le nombre du milieu est la moyenne du premier et du dernier nombre. Donc c’est un plus 𝑛 le dernier nombre le tout divisé par deux. Maintenant j’ai un facteur diviseur commun qui est un demi, et donc je peux factoriser. Donc j’ai un demi fois 𝑛 moins un fois un plus 𝑛 plus un plus 𝑛. Maintenant j’ai un diviseur commun de un plus 𝑛. Donc je vais factoriser. Et cela me laissera 𝑛 moins un comme premier terme dans la parenthèse là et un comme le terme suivant dans la parenthèse, car c’est juste un groupe de un plus 𝑛. Donc j’ai ajusté la formule à un demi plus 𝑛 fois 𝑛 moins un plus un.

Puisque nous additionnons et soustrayons ici, je peux éliminer ces parenthèses et il ne me restera que 𝑛 moins un plus un. Et bien sûr, si je soustrais un et puis j’ajoute un, c’est rien. Donc à l’intérieur de cette parenthèse, cela se simplifie en 𝑛. Et bien sûr, si je n’ai que 𝑛 entre les parenthèses, alors je n’ai plus besoin de ces parenthèses. Donc ma somme – qu’on a appelée 𝑠 – est égale à un demi un plus 𝑛 fois 𝑛. Encore une fois, je peux réarranger cela. Et nous obtenons la même formule d’avant.

Donc soit le nombre de termes est pair ou impair, on peut toujours utiliser la même formule pour additionner ces nombres. Et peu importe si j’additionne les nombres un, deux, trois, jusqu’à cent, ou si je fais cela dans le sens inverse, de 100, 99, 98 jusqu’à un. J’ai écrit les deux méthodes ici. Si j’additionne les deux rangées ensemble, j’aurai 𝑠 plus 𝑠 ce qui donne deux 𝑠. Donc j’ai deux fois la somme des nombres de un à cent qui est 101 plus 101 plus 101, et ainsi de suite, 100 fois. Et cela signifie que le double de la somme sera 1001 fois 101. Autrement dit, deux fois la somme que je cherche est 10100. Donc si je divise ces deux membres par deux, je trouve que la somme de ces nombres et 5050, et c’est la réponse que j’ai obtenue avant.

Mais l’important est que si je généralise cette formule, alors je ne m’inquièterai plus à propos du nombre pair ou impair des termes car j’utilise chaque terme dans la suite. Donc en écrivant la somme des nombres de un à 𝑛 en avant et en arrière puis en additionnant ces deux lignes ensemble, alors tout d’abord on obtient 𝑠 plus 𝑠 égale deux 𝑠. Ensuite, un plus 𝑛 égale un plus 𝑛. Deux plus 𝑛 moins un, deux moins un est un. C’est encore une fois un plus 𝑛. Trois plus 𝑛 moins deux, trois moins deux est un. Donc nous avons de nouveau un plus 𝑛, et ainsi de suite. Et puis on a 𝑛 moins deux plus trois. Moins deux plus trois est un. Donc encore une fois nous avons 𝑛 plus un ou un plus 𝑛, et ainsi de suite. Donc on termine avec deux fois la somme égale 𝑛 groupes de un plus 𝑛 ou 𝑛 fois un plus 𝑛.

Ensuite, si l’on divise les deux membres par deux, on obtient la même formule qu’on a obtenue avant, mais en utilisant une différente méthode. Donc utiliser cette différente méthode nous a aidé à vérifier que la formule est correcte. La différence est que cette formule n’a causé aucune confusion soit nous avions un nombre pair ou impair de termes dans la suite.

Mais enfin, essayons de visualiser le problème d’une façon différente, en traçant des points en suivant un modèle. Disons que l’on veut juste additionner les nombres de un à cinq. On peut représenter ces nombres en utilisant des lignes de un puis deux puis trois puis quatre puis cinq points : un, deux, trois, quatre, cinq. Nous avons donc un triangle de points dont la hauteur est de cinq lignes et la largeur de cinq colonnes. Comment pouvons-nous compter facilement le nombre de points ? Une façon est de répéter le modèle. Puis nous pouvons faire tourner de 180 degrés ce deuxième triangle de points puis le faire glisser ici.

Maintenant nous avons un rectangle de points avec cinq colonnes et cinq plus une ligne. Nous avons le double de points dont nous avons besoin. Mais le plus important, ils forment un joli modèle rectangulaire, ce qui les rend faciles à compter. Dans cette configuration, il faut simplement multiplier cinq par six pour avoir 30 points. Mais le nombre de points que nous cherchons est la moitié de ce nombre. Et la moitié de 30 est 15. Donc il y avait 15 points bleus, ou autrement dit, la somme des nombres de un à cinq donne 15.

Maintenant, généralisons cela pour 𝑛 lignes dans notre triangle. Je sais que ça se voit qu’il a cinq lignes. Mais imaginons qu’il y en beaucoup d’autres, et que nous ne savons pas combien il y en a. Il y a 𝑛 colonnes et 𝑛 plus une ligne, où nous prenons une copie de notre triangle de points et formons un modèle rectangulaire. Donc en additionnant le double du nombre de points que nous voulons, c’est deux fois la somme, nous allons multiplier 𝑛 par 𝑛 plus un. Et comme nous avons dit, c’est le double du nombre de points que nous cherchons. Donc cela nous donne que la somme est égale à 𝑛 sur deux fois 𝑛 plus un. Et maintenant, nous avons une troisième méthode qui donne la même formule et bien sûr qui vérifie notre travail.

Maintenant, lorsqu’on visualise le problème de cette façon, et qu’on pense que lorsque 𝑛 égale un, deux ou trois et ainsi de suite, nous obtenons une série de modèles. Et les sommes que nous obtenons lorsque 𝑛 égale un, deux ou trois et ainsi de suite est appelée les nombres triangulaires. Et Gauss a aussi travaillé sur ces mathématiques. Étant arrivés à la même formule de trois manières différentes, et je peux dire qu’il y en beaucoup d’autres méthodes différentes pour exprimer cela algébriquement, on peut l’appliquer à n’importe quelle suite de nombres de un à un certain nombre.

Donc lorsque 𝑛 est 100, comme on l’a vu, la somme est 5050. Lorsque 𝑛 est 1000, la somme est 500500. Lorsque 𝑛 est 1000000, la somme est 500000500000. Et même si l’on commence avec un nombre un peu moins simple comme 3643, le calcul n’est pas dérisoire si vous n’avez pas une calculatrice, mais il est toujours plus facile que d’additionner 3643 nombres différents.

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