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Vidéo de question : Écrire et évaluer des fonctions exponentielles pour modéliser dans un contexte réel une décroissance exponentielle Mathématiques

La production d’une mine d’or diminue selon un taux annuel de 7%. Sachant que la production de la mine était de 6400 kg durant la première année, déterminez sa production au cours de la sixième année, arrondie à l’unité près.

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Transcription de vidéo

La production d’une mine d’or diminue selon un taux annuel de 7 pour cent. Sachant que la production de la mine était de 6400 kilogrammes durant la première année, déterminez sa production au cours de la sixième année, arrondie à l’unité près.

Nous devons trouver la production lors de la sixième année. On nous donne la production la première année et comment elle évolue d’une année à l’autre. Elle diminue de 7 pour cent d’une année à la suivante. Commençons par remplir un tableau de valeurs. La première année, la production était de 6400 kilogrammes.

Nous voulons savoir ce qui a été produit la sixième année. Mais nous allons déterminer la production chaque année jusqu’à la sixième. Voyons d’abord ce qui est produit la deuxième année. Comme la production décroît avec un taux annuel de 7 pour cent, cette valeur devrait être égale aux 6400 kilogrammes de l’année précédente moins 7 pour cent de ces 6400. Une autre façon d’écrire 7 pour cent de 6400 est 0.07 fois 6400.

C’est maintenant quelque chose que nous pourrions saisir dans notre calculatrice. Mais allons un peu plus loin. Nous pouvons écrire 6400 comme étant une fois 6400. Et nous pouvons ensuite factoriser par 6400 qui est commun à ces termes pour obtenir 0.93 fois 6400. Nous allons écrire ceci dans le tableau sans l’évaluer. Cela nous aidera plus tard pour trouver un modèle.

Nous voyons que comme la production de la mine d’or décroît avec un taux annuel de 7 pour cent, la production de la deuxième année est égale à 0.93 fois la production de la première année. Une autre façon de le dire est que cette diminution de 7 pour cent signifie qu’il nous est resté 93 pour cent.

Que s’est-il passé la troisième année ? Eh bien, il y a une autre diminution de 7 pour cent. Cette diminution a lieu chaque année. Ainsi, la production de la troisième année est égale à 93 pour cent de la production de la deuxième année. Elle est donc égale à 0.93 fois 0.93 fois 6400 kilogrammes. Nous pouvons réécrire 0.93 fois 0.93 comme 0.93 au carré ou 0.93 à la puissance deux, comme ceci.

La quatrième année, la production a encore diminué de 7 pour cent. Et encore une fois, nous pouvons regrouper le nouveau facteur de 0.93 avec les autres. Nous commençons heureusement à voir apparaître un modèle. Pour la cinquième année, nous multiplions à nouveau par 0.93 pour obtenir 0.93 à la puissance quatre fois 6400. Et en multipliant une dernière fois par 0.93, nous obtenons ce qui nous est demandé dans la question à savoir la production de la sixième année.

Avant d’évaluer le résultat, précisons d’abord le modèle. Pour toutes les années à partir de la troisième année, l’exposant de 0.93 est égal à l’année moins un. Nous pouvons appliquer ce modèle pour la deuxième année en écrivant 0.93 comme 0.93 à la puissance un. Et nous pouvons en fait aller même plus loin. Vous savez peut-être que 0.93 à la puissance zéro est égal à un. Et ainsi, multiplier par 0.93 à la puissance zéro ne change rien à la valeur de 6400.

Nous pourrions exprimer cette relation en écrivant que la production est donnée par la formule 0.93 à la puissance l’année moins un, fois 6400. Remplacer l’année par une valeur de six nous donnera la production de la sixième année. Et cela sera en accord avec la valeur que nous avons trouvée dans la dernière ligne de notre tableau.

La réponse est 0.93 à la puissance cinq, fois 6400 kilogrammes qui, en utilisant une calculatrice, nous donne que c’est égal à 4452.405 etc. En arrondissant comme il nous est demandé à l’entier le plus proche, nous obtenons que la production de la sixième année est de 4452 kilogrammes.

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