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Vidéo de la leçon : Circuits à courant alternatif Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les valeurs des grandeurs électriques dans les circuits alimentés par des courants alternatifs.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à calculer certaines des grandeurs électriques importantes associées au courant, à la tension et à la puissance dans les circuits à courant alternatif. Nous allons également découvrir les différentes relations possibles entre le courant alternatif et la tension alternative, selon que le circuit est résistif, capacitif ou inductif.

Commençons par définir le courant alternatif. Le courant est le taux auquel la charge circule le long d’un cheminement. Dans un circuit électrique tel que ces résistances connectées en série, le chemin est formé par les fils et les composants du circuit. Comme nous pouvons le voir dans cet exemple, il existe deux sens possibles pour le courant dans ce circuit. La charge peut s’écouler dans le sens des aiguilles d’une montre à travers le circuit ou dans le sens inverse. Si nous introduisons une source de force électromotrice ou f.é.m. dans le circuit, comme une pile de tension 𝑉, la f.é.m. fournie par la pile fournira un courant dans le circuit. Dans ce cas, le courant conventionnel suivra le sens des aiguilles d’une montre car le courant conventionnel est défini comme allant de la borne positive à la borne négative d’une pile.

Si nous manipulons la pile afin de la retourner, nous inversons les bornes positive et négative par rapport au reste du circuit, et la direction du courant est maintenant dans le sens antihoraire. Dans ces deux exemples avec la pile qui envoie le courant dans le circuit, le courant est un courant continu car il n’a qu’un seul sens déterminé par l’orientation de la pile. Il existe un type de source différent appelé source de tension alternative qui peut changer de façon ininterrompue entre avoir une borne positive en haut et une borne négative en bas et une borne négative en haut et une borne positive en bas, tout comme nos deux orientations de la pile.

Par conséquent, la f.é.m. de la source de tension alternative bascule en faisant circuler le courant dans le sens horaire et antihoraire dans le circuit. Nous appelons donc un tel courant un courant alternatif car il bascule entre les deux sens possibles dans le circuit. De même, nous appelons la f.é.m. produite par notre source, une f.é.m. alternative, car elle fournit un courant qui change de direction. Avant d’en apprendre plus sur une source simple de f.é.m. alternative, il est utile de comprendre comment nous représenterions un courant continu et un courant alternatif sur un graphique.

Pour construire un graphique du courant en fonction du temps, nous devons représenter le courant à un moment donné avec un nombre. La valeur de notre nombre sera l’intensité du courant. Et puis, puisque le courant a l’un des deux sens possibles, les nombres positifs représentent le courant dans un sens et les nombres négatifs représentent le courant dans le sens opposé. Peu importe le sens que nous définissons comme étant positif et lequel négatif tant que nous sommes cohérents pour le circuit que nous considérons. Alors dessinons un courant continu. C’est un courant qui n’a qu’un seul sens. Cette ligne bleue représente un courant continu.

Remarquez que ce courant n’est pas constant dans le temps; sa valeur varie. Mais la valeur est toujours supérieure à zéro, ce qui signifie qu’elle a toujours le sens associé au courant positif. Il s’agit donc d’un courant continu car il n’a qu’un seul sens. Cette ligne verte représente également un courant continu. La grandeur de ce courant est constante dans le temps, mais sa valeur est toujours inférieure à zéro. Donc, il a le sens opposé au courant représenté par la ligne bleue. En revanche, le courant représenté par cette courbe orange n’est pas un courant continu, mais un courant alternatif. La valeur de ce courant passe de supérieur à zéro en certains moments à inférieur à zéro en d’autres moments. En d’autres mots, ce courant change de sens.

Très bien, passons maintenant à la f.é.m. alternative produite par un simple générateur de courant alternatif. Le générateur de courant alternatif le plus simple consiste en une boucle de fil dans un champ magnétique uniforme. Lorsque la boucle tourne dans le champ, le flux magnétique à travers la boucle change, ce qui provoque une f.é.m. alternative aux bornes de la boucle. Dérivons une formule quantitative pour cette f.é.m. en fonction du temps. Nous pouvons ensuite utiliser cette formule pour comprendre certaines propriétés quantitatives et qualitatives de la f.é.m., ainsi que des quantités alternatives en général. Nous commencerons par la loi d’induction de Faraday, qui stipule que la force électromagnétique induite est égale à l’opposé du flux magnétique modifié à travers une boucle par rapport au temps.

Très bien, alors calculons le flux à travers notre boucle. Nous pouvons considérer le flux magnétique comme la quantité de champ magnétique passant à travers la boucle. Donc, si l’aire de la boucle est 𝐴 et que l’intensité du champ magnétique est 𝐵, alors le champ magnétique total passant par la boucle serait simplement 𝐴 fois 𝐵. Cela est vrai lorsque la boucle est totalement perpendiculaire au champ. Mais rappelez-vous, notre boucle tourne. Voici deux images de la boucle dans le champ magnétique depuis un point de vue latéral. Dans la première image, la boucle est perpendiculaire au champ magnétique, et nous pouvons clairement voir qu’elle coupe cinq lignes de champ magnétique.

Cependant, dans la deuxième image, comme la boucle a tourné d’un angle 𝜃, la boucle ne coupe maintenant que trois lignes de champ magnétique, même si elle a la même longueur. Donc, même si l’aire de la boucle n’a pas changé, le champ magnétique total passant par la boucle a certainement changé, et le flux est aussi différent. Pour comprendre ce nouveau flux, notons que la boucle d’origine représentée par la ligne continue coupe le même nombre de lignes de champ magnétique que cette autre petite boucle verticale représentée par cette ligne pointillée verticale. Et nous savons quel est le flux à travers cette autre boucle car il est perpendiculaire au champ magnétique. C’est juste la surface de cette boucle multipliée par l’intensité du champ magnétique.

Maintenant, le flux à travers les deux boucles est le même. Nous pouvons donc dire que la boucle représentée par la ligne continue a une aire effective égale à l’aire de la boucle représentée par la ligne pointillée. Pour déterminer cette aire effective, appelons d’abord la longueur de la ligne continue 𝑙. Deuxièmement, comme la boucle tourne à une vitesse fixe, nous pouvons remplacer l’angle 𝜃 par la quantité 𝜔 fois 𝑡. 𝜔 est la vitesse angulaire de rotation, donc 𝜔 fois 𝑡 est l’angle total de rotation de la boucle. Ensuite, nous remarquons que puisque les deux lignes en pointillés sur ce schéma sont parallèles, l’angle entre les deux lignes orange est également 𝜔𝑡. Cela nous permet de calculer la longueur de la ligne pointillée orange comme étant 𝑙 fois le cosinus de 𝜔𝑡.

Nous n’avons pas besoin de corriger la largeur de la boucle car elle est toujours perpendiculaire au champ magnétique tout au long de la rotation. Donc, cela nous permet d’écrire l’aire effective de la boucle comme étant la largeur de la boucle multipliée par la longueur de la boucle fois le cosinus de 𝜔𝑡. Mais la largeur multipliée par la longueur n’est que l’aire d’origine de la boucle. Ainsi, l’aire effective pour calculer le flux magnétique lorsque la boucle tourne dans le champ est l’aire de la boucle fois le cosinus de 𝜔𝑡, où 𝜔 est la vitesse angulaire de rotation et 𝑡 est le temps écoulé. En ajustant notre expression précédente pour le flux afin d’obtenir le flux à un moment donné, il suffit d’inclure le facteur cosinus de 𝜔𝑡.

Cela transforme notre facteur d’aire initial en aire effective. Le flux que nous avons calculé est le flux pour une seule boucle. Mais de nombreux générateurs contiennent en fait plusieurs boucles pour augmenter la f.é.m. produite. S’il y a 𝑛 boucles identiques et que chaque boucle a un flux de 𝐴𝐵 cos 𝜔𝑡, alors le flux total à travers toutes les boucles sera 𝑛 fois 𝐴𝐵 cos 𝜔𝑡. Trouvons maintenant l’opposé de la variation par rapport au temps dans cette expression pour obtenir la f.é.m..

La seule partie de notre expression du flux qui dépend du temps est cos 𝜔𝑡. Cela signifie que nous pouvons écrire la f.é.m. comme étant égale 𝑛𝐴𝐵, qui sont toutes constantes dans le temps, fois moins la variation de cos 𝜔𝑡 par rapport au temps. Il s’avère que ce changement vaut moins 𝜔 sin 𝜔𝑡. Et quand nous prenons l’opposé de cela, nous obtenons moins moins 𝜔 sin 𝜔𝑡. C’est-à-dire plus 𝜔 sin 𝜔𝑡. Cela nous donne notre expression finale pour la force électromotrice alternative produite par un générateur de courant alternatif. Nous avons que la f.é.m. est égale à 𝑛, le nombre de boucles de fil, fois 𝐴, l’aire de chaque boucle, fois 𝐵, l’intensité du champ magnétique, fois 𝜔, la vitesse de rotation des boucles, fois sin 𝜔𝑡, le temps écoulé depuis que la boucle était verticale.

Maintenant que nous avons terminé notre dérivation quantitative, utilisons cette formule pour comprendre certaines des propriétés qualitatives de cette f.é.m. alternative. Pour obtenir une image qualitative de cette f.é.m., la première chose à faire est de tracer un graphique. La courbe de la f.é.m. en fonctions du temps a une forme sinusoïdale due à la partie sin 𝜔𝑡 de l’expression de la f.é.m.. Puisque la fonction sinus varie entre des valeurs de moins un et plus un, les valeurs extrêmes pour la f.é.m. sont simplement données par la constante devant le sin, 𝑛𝐴𝐵𝜔. De même, nous pouvons clairement voir sur ce graphique que la f.é.m. prend des valeurs positives et des valeurs négatives. Sur le plan physique, cela correspond à la capacité de la f.é.m. à fournir du courant dans les sens positif et négatif dans un circuit donné.

De plus, comme nous pouvons le voir, la valeur de la f.é.m. varie en fonction du temps. Il est donc utile d’essayer de trouver une valeur qui représenterait le comportement moyen de la f.é.m.. Une valeur naturelle que nous pourrions considérer est la moyenne arithmétique de la f.é.m. au cours d’un cycle. Nous appellerons cela 𝐸 indice moy pour la f.é.m. moyenne. Et nous l’obtiendrons en trouvant la f.é.m. totale au cours d’un cycle divisée par la durée du cycle. Cependant, si nous regardons attentivement notre graphique, nous voyons qu’à chaque fois que la f.é.m. atteint une valeur positive, il y a un moment correspondant où la f.é.m. atteint la même valeur mais négative. Mais cela signifie que la valeur totale de la f.é.m. à ces deux instants est égale à zéro puisque les valeurs s’annulent.

En appliquant cela à tout le cycle, nous voyons que la f.é.m. totale sur tout le cycle est nulle car toutes les valeurs positives sont annulées par les valeurs négatives correspondantes. Si la f.é.m. totale est nulle, alors la f.é.m. moyenne est également nulle. C’est un fait véritable, mais il ne contient aucune information sur les valeurs maximales de la f.é.m.. Et en fait, peu importe le nombre de boucles de fil, leur aire, l’intensité du champ magnétique ou la vitesse de rotation, la f.é.m. moyenne d’un générateur de courant alternatif sera toujours nulle. Nous voulons donc un autre type de moyenne qui inclura des informations sur les valeurs maximales de la f.é.m.. Une valeur qui s’avérera particulièrement utile pour les applications électroniques est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés, ou moyenne quadratique, abrégée mq.

Chaque terme, racine, moyenne et carré, fait référence à l’une des étapes de calcul d’une moyenne quadratique. La première étape consiste à prendre le carré de chaque valeur. Puisque le carré d’une valeur négative est une valeur positive, cela garantit que toutes les valeurs auxquelles nous avons affaire sont maintenant positives. La prochaine étape consiste à trouver la moyenne de ces valeurs carrées. Cela sera toujours positif ou nul, puisqu’une valeur carrée est positive ou nulle. La dernière étape consiste à prendre la racine carrée de la moyenne que nous avons trouvée à la deuxième étape. Nous faisons cette étape pour compenser la mise au carré de la première étape. Il s’avère que la moyenne quadratique d’une sinusoïde a une forme très simple.

La moyenne quadratique d’une sinusoïde est exactement égale à l’inverse la racine carrée de deux fois la valeur maximale. Cela signifie que la moyenne quadratique de la f.é.m. produite par notre générateur vaut un divisé par la racine carrée de deux fois 𝑛𝐴𝐵𝜔. Notez que ceci est en effet une valeur qui contient des informations sur la grandeur maximale de la f.é.m.. De plus, comme approximation très utile, l’inverse de la racine carrée de deux est à peu près égale à 0.7. Ainsi, la moyenne quadratique de la f.é.m. est d’environ 0.7 fois 𝑛𝐴𝐵𝜔. Maintenant que nous comprenons certaines des propriétés moyennes des f.é.m. alternatives, nous pouvons appliquer des principes similaires au courant et à la puissance dans les circuits à courant alternatif.

Dans un circuit à courant alternatif, si la f.é.m. suit une sinusoïde par rapport au temps, le courant aussi. La courbe du courant en fonction du temps aura une forme très similaire à celle de la f.é.m. en fonction du temps. Elle sera de forme sinusoïdale avec une grandeur maximale de 𝐼 max qui pourrait être positive ou négative. Par conséquent, tout comme la f.é.m., la moyenne arithmétique du courant au cours d’un cycle est égale à zéro et le la moyenne quadratique du courant vaut l’inverse de la racine carrée de deux fois la valeur maximale du courant, soit environ 0.7 fois le courant maximal. Dans un circuit résistif ordinaire à courant continu, la puissance dissipée est le carré du courant multiplié par la résistance. Pour les circuits à courant alternatif qui sont purement résistifs, où le courant varie avec le temps, cette relation est toujours valable pour autant que nous notons également que la puissance varie maintenant en fonction du temps.

La puissance maximale serait alors dissipée lorsque le courant atteins sa valeur maximale positive ou négative. Cependant, contrairement au courant et à la f.é.m., la puissance dissipée est toujours supérieure ou égale à zéro car 𝑅 est un nombre positif ou zéro. Et même si 𝐼 peut être négatif, 𝐼 au carré est toujours positif ou nul. Par conséquent, si nous essayons de prendre la moyenne arithmétique de la puissance au cours d’un cycle du courant, nous n’obtiendrons pas zéro. Ce que nous obtenons en réalité, c’est la moitié de la puissance maximale ou 𝐼 max au carré divisé par deux fois 𝑅. Mais un divisé par deux vaut simplement un sur la racine carrée de deux au carré, nous pouvons donc réécrire 𝑃 moyen sous la forme un sur la racine carrée de deux fois le courant maximal au carrée fois 𝑅.

Mais cela est utile car nous avons une définition de un sur la racine carrée de deux fois le courant maximal. Il s’agit juste de la moyenne quadratique du courant. Ensuite, nous pouvons voir que la puissance moyenne dissipée dans un circuit à courant alternatif est la même que la puissance qui serait dissipée dans un circuit à courant continu si le courant dans le circuit à courant continu avait la même valeur que la moyenne quadratique du courant dans le circuit à courant alternatif. Ainsi, utiliser la moyenne quadratique du courant nous donne non seulement des informations sur la valeur maximale du courant, mais nous donne également un lien entre la puissance moyenne dissipée dans un circuit à courant alternatif et la puissance dissipée dans un circuit à courant continu.

Très bien, voyons maintenant comment la tension alternative et le courant alternatif sont liés dans des circuits résistifs, capacitifs et inductifs. Pour illustrer ces relations, nous avons tracé trois circuits. Chaque circuit a une source de tension alternative connectée à un seul composant. Dans le premier circuit, le composant est une résistance de valeur 𝑅. Dans le deuxième circuit, c’est un condensateur de capacité électrique 𝐶. Et dans le troisième circuit, c’est un inducteur d’inductance 𝐿. La lettre 𝐿 est utilisée en l’honneur du physicien Heinrich Lenz, car la loi de Lenz joue un rôle important dans les inducteurs. Pour faciliter la comparaison, nous traiterons chaque source de tension alternative comme étant identique, de sorte que chaque circuit ait la même f.é.m. alternative fournissant du courant.

Pour chaque circuit, nous avons tracé une courbe sinusoïdale de f.é.m. sur un graphique sous la forme d’une courbe en pointillés bleus. Voyons maintenant ce que nous attendons du courant pour chaque circuit. Pour le circuit résistif ou 𝑅, nous avons la loi d’Ohm, qui nous dit que la tension et le courant sont directement proportionnels. Ceci est clairement énoncé par la loi d’Ohm 𝑉 est égal à 𝐼𝑅 et il est vrai même lorsque le courant est alternatif. Dans ce cas, le courant, représenté par la ligne continue verte, aura exactement la même forme que la f.é.m., mais avec une valeur différente. Dans un circuit capacitif ou 𝐶, la f.é.m. et le courant ne sont pas directement proportionnels. Plutôt, le courant suit cette courbe verte continue, qui est nulle aux moments où la f.é.m. est maximale et maximale aux moments où la f.é.m. est nulle.

Si nous regardons attentivement, nous verrons que le courant suit une sinusoïde de la même forme que la f.é.m., mais atteint sa valeur maximale un quart de période avant la f.é.m.. Dans le langage de phase, nous voyons que le courant devance la f.é.m. de 90 degrés. Pour comprendre intuitivement cette relation, rappelez-vous que la tension aux bornes d’un condensateur est déterminée par la quantité de charge sur les plaques. Et le courant est le flux de charge en fonction du temps. Ainsi, la f.é.m. fait en sorte qu’un courant dans le circuit dépose de la charge sur le condensateur.

Si nous rappelons que le courant conventionnel est défini comme le flux de charge positive de la borne positive de la source de tension vers la borne négative de la source de tension, nous pouvons voir que la charge résultante sur le condensateur sera positive du même côté que le borne positive de la source de tension et négative du même côté que la borne négative de la source de tension, car une charge positive circule vers la plaque supérieure et s’éloigne de la plaque inférieure. Si la f.é.m. de la source de tension alternative est supérieure à la tension aux bornes du condensateur, le courant sera conduit à travers le condensateur en déposant de la charge comme indiqué sur le schéma.

Ainsi, tant que la f.é.m. s’agrandit, nous nous attendons à ce que le courant circule comme indiqué. D’autre part, si la f.é.m. devient plus négative par rapport à la tension aux bornes du condensateur, nous nous attendons à ce que le courant circule dans le sens opposé. En regardant notre graphique, nous voyons que, en effet, lorsque la f.é.m. passe de sa valeur la plus positive à sa valeur la plus négative – en d’autres mots, la f.é.m. diminue - le courant est négatif. Et lorsque la f.é.m. passe de sa valeur la plus négative à sa valeur la plus positive - en d’autres mots, la f.é.m. augmente - le courant est positif. Dans un circuit inductif ou 𝐿, le courant aurait un décalage similaire au circuit capacitif, mais dans l’autre sens. ⁠

Ainsi, dans ce cas, la force électromotrice maximale se produit un quart de période avant le courant maximal. En d’autres mots, la f.é.m. devance le courant de 90 degrés. Pour comprendre cela intuitivement, rappelez-vous que lorsque la f.é.m. fourni un courant à travers l’inducteur, elle produit un champ magnétique pointant dans un sens particulier qui oscille selon le courant. Lorsque la f.é.m. change, le courant dans l’inducteur change, ce qui modifie l’intensité du champ magnétique. Selon la loi de Lenz, ce champ magnétique variable induit un courant qui s’oppose à cette variation. Cela provoque un retard du courant, et le résultat est que la force électromagnétique change en pratique avant le courant, ce qui donne une avance de phase de 90 degrés.

Il convient de noter avant de passer en revue que nous avons appris que la f.é.m. dans chacun de ces circuits est sinusoïdale. Et ainsi, le courant est également sinusoïdal, même si parfois il a un déphasage par rapport à la f.é.m..

Très bien, passons en revue les points clés que nous avons appris dans cette leçon. Notre sujet était les circuits à courant alternatif. Nous avons défini le courant alternatif comme un courant qui change de sens périodiquement au cours du temps. Nous avons vu que si la courbe du courant alternatif est une sinusoïde, et en effet pour toute sinusoïde, la valeur moyenne définie comme la moyenne arithmétique est égale à zéro. Cependant, nous pouvons définir un autre type de moyenne appelée moyenne quadratique, qui n’est pas nulle. Dans le cas particulier d’une sinusoïde, la moyenne quadratique est égale à l’inverse de la racine carrée de deux fois la valeur maximale, qui vaut environ 0.7 fois la valeur maximale.

Nous avons également vu qu’un courant alternatif sinusoïdal est souvent fourni par une force électromotrice sinusoïdale produite par un générateur de courant alternatif. Nous avons dérivé la formule qui dit que le nombre de boucles fois la surface de chaque boucle fois l’intensité du champ magnétique fois la vitesse angulaire de rotation fois le sinus de 𝜔 fois le temps à partir duquel la boucle était perpendiculaire au champ magnétique est égale la f.é.m. à un instant donné. Nous avons vu que dans un circuit résistif, la f.é.m. et le courant sont en phase. Dans un circuit capacitif, le courant devance la f.é.m. de 90 degrés. Et dans un circuit inductif, la f.é.m. devance le courant de 90 degrés. Enfin, nous avons vu que la puissance moyenne dissipée dans un circuit alternatif résistif est la moyenne quadratique du courant au carré multipliée par la résistance.

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