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Vidéo de question : Déterminer la longueur latérale d’un hexagone compte tenu de son aire Mathématiques

On considère un hexagone régulier d’aire 54√ (3) m². Calculez la longueur d’un côté de l’hexagone au mètre près.

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Transcription de vidéo

On considère un hexagone régulier d’aire 54 fois la racine carrée de trois mètres carrés. Calculez la longueur d’un côté de l’hexagone au mètre près.

Pensons à ce que nous savons de l’aire d’un polygone régulier de côté 𝑛. L’aire est égale à 𝑛 fois 𝑥 au carré sur quatre fois la cotangente de 180 sur 𝑛, où 𝑥 est la valeur de la longueur d’un côté. Cette formule est écrite de telle sorte que nous utilisons la cotangente en degrés. L’hexagone étudié dans cet exemple est un polygone régulier à six côtés. Cela signifie que nous connaissons la valeur de 𝑛. On nous a également donné l’aire de ce polygone. Cela signifie que nous avons suffisamment d’informations pour trouver la longueur latérale manquante 𝑥.

Nous allons placer 54 fois racine carrée de trois pour l’aire et six pour 𝑛. Nous pouvons simplifier six sur quatre en trois demis. Puis, 180 divisé par six est égal à 30. La tangente de 30 degrés est la tangente d’un angle que nous devons normalement connaître. Nous savons que cela vaut un sur racine carrée de trois. Puisque la cotangente est l’inverse de la tangente, nous pouvons dire que la cotangente de 30 degrés est donc égale à racine carrée de trois. De là, nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par racine carrée de trois de sorte que nous avons 54 est égal à trois demis fois 𝑥 au carré.

Nous avions un terme racine carrée de trois de chaque côté de cette équation et les deux ont été annulés. Pour isoler 𝑥, nous allons multiplier les deux côtés de l’équation par deux tiers. 54 multiplié par deux tiers donne 36. Du côté droit de l’équation, il nous reste 𝑥 au carré. Pour trouver 𝑥, nous devrons alors prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation. La racine carrée de 𝑥 au carré donne 𝑥. Pour la racine carrée de 36, nous ne nous intéresserons qu’à la racine carrée positive puisque nous avons affaire à une longueur. Cela signifie que 𝑥 doit être égal à six.

Puisque notre aire est donnée en mètres carrés, la longueur du côté doit être donnée en mètres. Puisque notre hexagone régulier a une aire de 54 fois la racine carrée de trois mètres carrés, sa longueur latérale doit être égale à six mètres.

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