Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube dont la longueur d’arête est six racine de deux centimètres et où 𝑋 est le milieu du segment 𝐴𝐵, déterminez l’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸.
Dans le cube donné, on nous dit que la longueur, la largeur et la hauteur sont toutes égales à six racine de deux centimètres et on nous demande de trouver l’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸. Nous rappelons que l’aire de tout rectangle est égale à la longueur multipliée par la largeur, ou à la base multipliée par la hauteur. Dans cette question, elle est égale à la longueur du segment 𝐷𝑋 multipliée par la longueur du segment 𝑋𝑌. Nous savons que 𝑋𝑌 est la hauteur du cube, elle est donc égale à six racine de deux centimètres.
Pour calculer la longueur de 𝐷𝑋, considérons le triangle rectangle 𝐷𝐴𝑋. Nous savons que la longueur 𝐷𝐴 est égale à six racine de deux centimètres. Puisque 𝑋 est le milieu du segment de droite 𝐴𝐵, alors la longueur 𝐴𝑋 est égale à la moitié de celui-ci. Soit trois racine de deux centimètres. Nous pouvons maintenant utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur manquante. Ce théorème indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est la longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle et 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des deux côtés les plus courts. En substituant nos valeurs, 𝐷𝑋 au carré est égal à six racine de deux au carré plus trois racine de deux au carré. Le carré de six racine de deux nous donne 72 car six au carré donne 36 et la racine de deux au carré vaut deux.
De la même manière, trois racine de deux au carré est égal à 18. Notre équation se simplifie en 𝐷𝑋 au carré est égal à 72 plus 18. Nous prenons la racine carrée des deux côtés de cette équation et puisque 𝐷𝑋 est positif, nous avons 𝐷𝑋 est égal à la racine carrée de 90. En utilisant les lois sur les racines, nous pouvons réécrire ceci comme racine de neuf multipliée par racine de 10. Puisque la racine carrée de neuf vaut trois, la longueur de 𝐷𝑋 est donc égale à trois racine de 10 centimètres.
Nous sommes maintenant en mesure de calculer l’aire du rectangle. Nous multiplions trois racine de 10 par six racine de deux. Trois multiplié par six vaut 18 et racine de 10 multipliée par racine de deux donne racine de 20. L’aire du rectangle est donc égale à 18 racine de 20. Nous pouvons alors écrire la racine de 20 comme racine de quatre multipliée par racine de cinq, c’est-à-dire deux racine de cinq. Multiplier par 18 nous donne 36 racine de cinq. L’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸 est donc égale à 36 racine de cinq centimètres carrés.
