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Vidéo de question : Déterminer des longueurs de côté inconnues d’un triangle à l’aide du théorème de la bissectrice Mathématiques

Sur la figure, 𝐴𝐷 est la bissectrice de ∠𝐵𝐴𝐶, 𝐵𝐷 = 8, 𝐷𝐶 = 11 et le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 est 57. Déterminez les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

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Transcription de vidéo

Sur la figure, la droite 𝐴𝐷 est la bissectrice de l’angle 𝐵𝐴𝐶, 𝐵𝐷 est égal à huit, 𝐷𝐶 est égal à 11 et le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 est 57. Déterminez les longueurs des segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

Commençons par ajouter les informations que nous connaissons à la figure. Puisque la droite 𝐴𝐷 est la bissectrice de l’angle 𝐵𝐴𝐶, l’angle 𝐶𝐴𝐷 est égal à l’angle 𝐵𝐴𝐷. 𝐵𝐷 est égal à huit. 𝐷𝐶 est égal à 11. Et le périmètre de ce triangle est égal à 57. Cela signifie que la distance tout autour du triangle est de 57, ce qui correspond à huit plus 11 plus 𝐴𝐶 plus 𝐴𝐵.

Il peut sembler à ce stade que nous n’avons pas assez d’informations pour résoudre ce problème. Mais nous connaissons le théorème de la bissectrice, qui nous dit que la bissectrice d’un triangle divise son côté opposé en deux segments de longueurs proportionnelles aux deux autres côtés du triangle qui leur sont adjacents. Pour l’angle 𝐶𝐴𝐷, son côté opposé est ici et son côté adjacent est ici. Et pour l’angle 𝐵𝐴𝐷, ses côtés opposés et adjacents sont ici. Et les rapports de ces longueurs des côtés - opposé sur adjacent - doivent être égaux. Le rapport des longueurs 𝐶𝐷 sur 𝐴𝐶 est égal à 𝐵𝐷 sur 𝐴𝐵. Nous savons que 𝐶𝐷 est égal à 11 et que 𝐵𝐷 est égal à huit. Mais cette relation seule n’est pas suffisante pour résoudre le problème. Nous allons avoir besoin de ces deux équations, l’équation du périmètre et l’équation de la relation entre les longueurs, pour résoudre le problème.

La première chose que nous pouvons faire est d’essayer d’isoler 𝐴𝐶 ou 𝐴𝐵. On obtient pour cela 𝐴𝐵 fois 11 et 𝐴𝐶 fois huit. Et cette opération est équivalente à un produit en croix. À partir de là, on peut diviser les deux membres de l’équation par 11. À gauche, le 11 s’annule. Et on trouve que 𝐴𝐵 est égal à huit sur 11 fois 𝐴𝐶. Nous pouvons alors remplacer 𝐴𝐵 par cette expression dans l’équation du périmètre. Le périmètre est égal à 57 et huit plus 11 égale 19. Donc on a 57 égale 19 plus 𝐴𝐶 plus 𝐴𝐵. On peut ensuite soustraire 19 aux deux membre, ce qui donne 38 égale 𝐴𝐶 plus 𝐴𝐵.

Et nous sommes maintenant prêts à utiliser notre résultat précédent. Nous avons une expression de 𝐴𝐵. Et nous pouvons la remplacer dans l’équation. 𝐴𝐵 est égal à huit sur 11 𝐴𝐶. Et on peut donc dire que 38 est égal à 𝐴𝐶 plus huit sur 11 𝐴𝐶. Puisque l’on a un 𝐴𝐶, on peut le reformuler par 11 sur 11 𝐴𝐶. On peut alors regrouper les deux termes de 𝐴𝐶 et obtenir 19 sur 11 𝐴𝐶. Pour isoler 𝐴𝐶, on multiplie les deux membres de l’équation par l’inverse de 19 sur 11, qui est 11 sur 19. 11 sur 19 fois 38 égale 22 et 19 sur 11 fois 11 sur 19 égale un, ce qui signifie qu’il nous reste simplement 𝐴𝐶. Nous pouvons donc en conclure que 𝐴𝐶 est égal à 22. Sachant maintenant que 38 est égal à 𝐴𝐶 plus 𝐴𝐵 et que 𝐴𝐶 est égal à 22, on peut soustraire 22 aux deux membres. 38 moins 22 égale 16. Donc 𝐴𝐵 est égal à 16.

Revenons à présent au rapport que nous avions établi au début. Nous avons trouvé que 𝐴𝐶 est égal à 22 et que 𝐴𝐵 est égal à 16. 11 sur 22 est égal à un sur deux. Et huit sur 16 est aussi égal à un sur deux. Cela signifie que la bissectrice a divisé le segment avec une proportion de un sur deux pour le côté opposé sur le côté adjacent. Nous pouvons effectuer un dernier contrôle en vérifiant si 57 est égal à huit plus 11 plus 22 plus 16 et c’est bien le cas.

Nous pouvons donc conclure que la longueur 𝐴𝐵 est égale à 16 et que la longueur 𝐴𝐶 est égale à 22.

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