Transcription de la vidéo
Dans le circuit représenté, 𝑅 deux est égal à deux 𝑅 un et 𝑅 trois est égal à trois 𝑅 deux. Le courant total circulant dans le circuit est de 0,36 ampères. Quelle est la valeur de la résistance 𝑅 un ?
Dans le circuit représenté, nous avons trois résistances en parallèle et nous voulons déterminer la valeur de la résistance 𝑅 un. Pour déterminer la valeur la résistance 𝑅 un, nous pouvons convertir les trois résistances en parallèle en une seule résistance équivalente 𝑅 total. Cela nous permettra de déterminer la résistance totale du circuit en fonction de 𝑅 un. Comme nous connaissons la différence de potentiel fournie par la pile et le courant total circulant dans le circuit, nous pouvons aussi utiliser la loi d’Ohm pour calculer la résistance totale du circuit. Nous pouvons utiliser cette valeur pour en déduire 𝑅 un.
Commençons par déterminer la résistance équivalente du circuit, 𝑅 total. Rappelons que quel que soit le nombre de résistances en parallèle, la résistance totale est donnée par 𝑅 total égal à un sur 𝑅 un plus un sur 𝑅 deux et cetera plus un sur 𝑅 𝑁, le tout à la puissance moins un. Donc, pour ce circuit, nous pouvons remplacer les trois résistances connectées en parallèle par une seule résistance équivalente qui aura une résistance 𝑅 totale égale à un sur 𝑅 un plus un sur 𝑅 deux plus un sur 𝑅 trois, le tout à la puissance moins un.
On nous dit que 𝑅 deux est égal à deux 𝑅 un et on nous dit également que 𝑅 trois est égal à trois 𝑅 deux. Comme nous cherchons à déterminer 𝑅 un, il est utile d’exprimer 𝑅 trois en fonction de 𝑅 un. Pour cela, nous pouvons remplacer la valeur de 𝑅 deux dans l’expression de 𝑅 trois pour obtenir 𝑅 trois égale trois fois deux 𝑅 un, ce qui est égal à six 𝑅 un. En remplaçant les valeurs de 𝑅 deux et 𝑅 trois, nous pouvons obtenir une expression de 𝑅 total en fonction de 𝑅 un. Nous obtenons que 𝑅 total, qui vaut un sur 𝑅 un plus un sur 𝑅 deux plus un sur 𝑅 trois, le tout à la puissance moins un, est égal à un sur 𝑅 un plus un sur deux 𝑅 un plus un sur six 𝑅 un, le tout à la puissance moins un.
Avec un peu d’algèbre, nous pouvons simplifier cette expression. Tout d’abord, il faut s’assurer que les trois termes ont le même dénominateur, six 𝑅 un. Pour cela, nous multiplions le haut et le bas du premier terme par six pour obtenir six sur six 𝑅 un. Ensuite, nous pouvons multiplier le haut et le bas du deuxième terme par trois pour obtenir trois sur six 𝑅 un. Nous avons donc six 𝑅 un au dénominateur des trois termes. Ensuite, nous pouvons combiner ces termes en une seule fraction en additionnant les numérateurs. Six plus trois plus un divisé par six 𝑅 un donnent 10 divisé par six 𝑅 un. Pour obtenir une forme plus simple de cette fraction, nous pouvons simplifier par deux en haut et en bas. Cela nous donne cinq divisé par trois 𝑅 un. Enfin, en prenant l’inverse, nous obtenons que 𝑅 total est égal à trois 𝑅 un divisé par cinq.
Donc, nous avons déterminé une expression de la résistance totale du circuit en fonction de 𝑅 un. Nous pouvons maintenant utiliser la loi d’Ohm pour trouver la valeur de la résistance totale, ce qui nous permettra alors de déterminer la valeur de 𝑅 un.
Rappelons que la loi d’Ohm peut s’écrire 𝑉 égale 𝐼𝑅, où 𝑉 est la différence de potentiel, 𝐼 est le courant et 𝑅 est la résistance. Ici, nous voulons utiliser la loi d’Ohm pour calculer la valeur de la résistance 𝑅 total. Nous devons donc modifier cette équation pour exprimer 𝑅. Pour faire cela, nous divisons simplement les deux côtés par 𝐼, ce qui nous donne l’équation 𝑉 sur 𝐼 égale 𝑅. Nous avons une pile, qui fournit une différence de potentiel de 18 volts aux bornes du circuit. Et on nous dit également que le courant total circulant dans le circuit est de 0,36 ampères. Ces valeurs sont les mêmes à travers la résistance 𝑅 total. Donc, en remplaçant les valeurs de différence de potentiel et de courant, nous pouvons utiliser la loi d’Ohm pour obtenir que 𝑅 total est égale à 18 volts divisé par 0,36 ampères, ce qui est égal à 50 ohms.
Nous avons maintenant deux expressions pour 𝑅 total. 𝑅 total est égal à 50 ohms et 𝑅 total est égal à trois 𝑅 un divisé par cinq. En utilisant ces deux expressions, nous obtenons que trois 𝑅 un divisé par cinq est égal à 50 ohms. En multipliant des deux côtés par cinq et en divisant des deux côtés par trois, nous obtenons que 𝑅 un est égal à 50 ohms fois cinq tiers, soit 250 divisé par trois ohms ou 83,333 et ainsi de suite. Donc, en arrondissant à l’entier près, la valeur de la résistance 𝑅 un est de 83 ohms.