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Vidéo question :: Déterminer les valeurs maximale et minimale absolues d’une fonction dans un intervalle donné Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez les extrema de la fonction définie par 𝑦 = 𝑥 / 4 + 1 / (𝑥 - 4) sur l’intervalle [1, 3].

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Transcription de la vidéo

Déterminez les extrema de la fonction définie par 𝑦 est égal à 𝑥 sur quatre plus un sur 𝑥 moins quatre sur l’intervalle de un à trois inclus.

Nous avons un intervalle fermé qui est un intervalle qui comprend ses deux extrémités, un et trois. Nous voulons trouver les valeurs maximales et minimales absolues de la fonction donnée sur cet intervalle. Ainsi, pour les valeurs de 𝑥 comprises entre un et trois inclus, quel est le plus grand et le plus petit 𝑦 possible ?

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la méthode de l’intervalle fermé qui nous dit comment trouver les valeurs maximales et minimales absolues d’une fonction continue 𝑓 sur un intervalle fermé 𝑎, 𝑏. Nous évaluons 𝑓 en ses points critiques dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏 et aussi aux extrémités 𝑎 et 𝑏. La plus grande valeur obtenue de cette manière est le maximum absolu et la plus petite, le minimum absolu.

Avant d’appliquer cette méthode, nous devons vérifier qu’elle est applicable. Cette méthode trouve les valeurs maximales et minimales absolues d’une fonction continue. Notre fonction est-elle continue ? En tant que fonction rationnelle, notre fonction est continue partout où elle est définie. Cependant, elle n’est pas définie lorsque ce polynôme du dénominateur est nul. Ainsi, elle n’est pas définie en 𝑥 est égal à quatre, ce qui est la seule valeur de 𝑥 pour laquelle 𝑥 moins quatre est nul. Note fonction n’est donc pas continue en 𝑥 est égal à quatre. Alors, que faisons-nous ?

Bien, pour cette question, cela ne pose pas de problèmes car nous limitons notre attention sur l’intervalle fermé de un à trois. 𝑥 égal à quatre ne se trouve pas dans cet intervalle. Ainsi, notre fonction est continue sur le petit domaine, l’intervalle fermé de un à trois. Cela nous permet d’appliquer la méthode de l’intervalle fermé. Appliquons donc la méthode.

Nous devons d’abord évaluer 𝑓 en ses points critiques dans la version ouverte de l’intervalle sur lequel il est défini. Notre fonction est 𝑥 plus quatre plus un sur 𝑥 moins quatre. Nous recherchons les points critiques dans l’intervalle ouvert de un à trois. Seulement, quels sont les nombres critiques de cette fonction dans cet intervalley ? En fait, plus généralement, « que sont les nombres critiques d’une fonction ? », bien.

Un point 𝑐 dans le domaine d’une fonction 𝑓 est un point critique de 𝑓 si la dérivée 𝑓 prime évaluée en 𝑐 est nulle ou si 𝑓 prime évaluée en 𝑐 n’existe pas. En d’autres termes, si 𝑐 n’appartient pas à l’ensemble de définition de 𝑓 prime. Nous recherchons un point critique de notre fonction et cela dépend de la dérivée de la fonction. Alors, dérivons. Nous pouvons faire cela terme par terme.

La dérivée de 𝑥 sur quatre ou un quart 𝑥 est directe à trouver. Nous obtenons un quart. La dérivée de un sur 𝑥 moins quatre est un peu plus compliquée. Alors réfléchissons un peu. Si nous posons 𝑧 égal à 𝑥 moins quatre, alors nous voulons trouver la dérivée par rapport à 𝑥 de un sur 𝑧. Nous pouvons appliquer la règle de derivation en chaîne 𝑑 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 fois 𝑑 sur 𝑑𝑧. Alors maintenant, nous pouvons considérer séparément 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 et 𝑑 sur 𝑑𝑧 de un sur 𝑧. Qu’est-ce que 𝑑𝑧 par 𝑑𝑥 ? 𝑧 est égal à 𝑥 moins quatre par définition. En dérivant cela par rapport à 𝑥, nous voyons que 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 vaut un.

Qu’en est-il de 𝑑 par 𝑑𝑧 de un sur 𝑧. Nous pouvons écrire un sur 𝑧 comme 𝑧 puissance moins un. Puis, nous pouvons appliquer le fait que 𝑑 sur 𝑑𝑧 de 𝑧 à la puissance 𝑛 est 𝑛 fois 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un. Avec 𝑛 égal à moins un, nous obtenons que 𝑑 de 𝑑𝑧 de 𝑧 à la puissance moins un est moins une fois 𝑧 à la puissance moins deux. Faisons de la place. Nous pouvons écrire 𝑧 à la puissance moins deux comme un sur 𝑧 au carré. Ici, nous avons utilisé le fait qu’ajouter un fois moins un fois quelque chose revient à soustraire ce quelque chose.

Maintenant, nous utilisons le fait que 𝑧, la variable auxiliaire, est 𝑥 moins quatre pour obtenir notre dérivée 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥. Effaçons le tableau pour faire de la place. Rappelons-nous pourquoi nous avons dérivé notre fonction. Il s’agissait de trouver les points critiques de notre fonction, où la dérivée est nulle ou n’existe pas. Commençons par l’endroit où la dérivée n’existe pas.

En raison du dénominateur 𝑥 moins quatre au carré, nous pouvons voir que la dérivée n’existe pas lorsque 𝑥 vaut quatre. Ici, cela ne pose pas de problèmes car quatre n’appartient pas au domaine de notre fonction d’origine. En effet, quatre n’appartient pas à l’intervalle ouvert de un à trois. La dérivée existe en fait partout dans cet intervalle ouvert. Par conséquent, les seuls points critiques correspondent aux points qui annulent la dérivé. Voyons quand cela se produit en résolvant 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à zéro.

Nous résolvons ce problème en écrivant la dérivée comme une fraction. Il est simple d’écrire les deux fractions que nous avons avec un dénominateur commun et de les combiner ainsi. Maintenant, cette fraction va être égale à zéro exactement lorsque le numérateur est égal à zéro, en supposant que le dénominateur n’est pas aussi égal à zéro en même temps. Nous développons et réduisons le numérateur pour obtenir 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 12, que nous pouvons factoriser.

Maintenant que le numérateur est factorisé, nous pouvons voir que la dérivée est nulle lorsque 𝑥 est égal à six ou 𝑥 est égal à deux. Ce sont donc nos points critiques. Seulement, rappelez-vous, nous ne sommes intéressés que par les nombres critiques dans l’intervalle ouvert de un à trois. Six n’est pas dans cet intervalle. Ainsi, le seul nombre critique dans l’intervalle ouvert de un à trois est deux. Notre première ligne de travail revient à évaluer 𝑥 sur quatre plus un sur 𝑥 moins quatre en deux. Libérons de l’espace pour pouvoir le faire.

Pour trouver la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 vaut deux, il suffit de substituer deux à 𝑥. Ainsi, 𝑦 vaut deux sur quatre plus un sur deux moins quatre. Cela se simplifie en zéro. Nous avons terminé la première étape de la méthode des intervalles fermés. Nous avons évalué notre fonction en ses points critiques dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏. Nous devons également évaluer notre fonction 𝑓 aux extrémités 𝑎 et 𝑏 de l’intervalle fermé.

𝑎 et 𝑏 sont un et trois, respectivement. Évaluons alors, en commençant par 𝑥 est égal à un. 𝑦 vaut alors un sur quatre plus un sur un moins quatre, ce qui vaut moins un douzième. Et l’autre extrémité lorsque 𝑥 vaut trois ? Ici, 𝑦 vaut trois sur quatre plus un sur trois moins quatre, ce qui se simplifie en moins un quart. Que faisons-nous maintenant ? Bien, nous regardons la méthode de l’intervalle fermé. Elle nous dit que la plus grande valeur obtenue est le maximum absolu et que la plus petite valeur obtenue est le minimum absolu. La plus grande de nos trois valeurs - zéro, moins un douzième et moins un quart - est zéro. La plus petite valeur que nous ayons obtenue est moins un quart.

Que concluons-nous alors ? La valeur maximale absolue de notre fonction 𝑦 est égal à 𝑥 sur quatre plus un sur 𝑥 moins quatre sur l’intervalle fermé de un à trois est zéro. Le minimum absolu de notre fonction sur cet intervalle est moins un quart. Il s’agissait d’une application relativement simple de la méthode des intervalles fermés. Bien que notre fonction ne soit pas continue sur l’ensemble des nombres réels, elle était continue sur l’intervalle dont nous nous soucions, l’intervalle fermé de un à trois. Ainsi, nous pouvions appliquer la méthode.

Nous avons trouvé les points critiques de notre fonction en dérivant et en trouvant quels nombres rendaient la dérivée nulle. Il n’y avait aucun point dans l’intervalle pour lequel la dérivée n’existe pas. Nous avons constaté qu’un seul des points critiques, deux, se trouvait dans l’intervalle ouvert de un à trois. Nous avons évalué notre fonction en ce point critique ainsi que les deux extrémités un et trois de l’intervalle fermé sur lequel la fonction a été définie.

La méthode des intervalles fermés nous a dit que la plus grande valeur que nous avons obtenue, zéro, est le maximum absolu de notre fonction sur notre intervalle et la plus petite, moins un quart, est le minimum absolu.

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