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Vidéo de question : Le rang d’une matrice Mathématiques

Quelle est la valeur que 𝑘 ne peut pas prendre si le rang de la matrice suivante est 3 ? 𝐴=[7, 4, −15; 22, 𝑘, −24; −9, 15, −21]

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Transcription de vidéo

Quelle est la valeur que 𝑘 ne peut pas prendre si le rang de la matrice suivante est trois ? 𝐴 égale à sept, quatre, moins 15; 22, 𝑘, moins 24; moins neuf, 15, moins 21

Dans cette question, on nous dit que le rang d’une matrice trois trois est trois. Nous rappelons tout d’abord que le rang d’une matrice 𝑛 par 𝑛 ne peut être égal à 𝑛 que si son déterminant est différent de zéro. Ainsi, la valeur que 𝑘 ne peut pas prendre et qu’on nous demande de trouver est la valeur de 𝑘 pour laquelle le déterminant de 𝐴 est nul. Nous pouvons calculer le déterminant de toute matrice trois trois en développant par rapport à n’importe quelle ligne ou colonne de la matrice. Dans cette question, nous allons utiliser la méthode la plus courante qui consiste à développer par rapport à la ligne du haut.

Ainsi, nous commençons par multiplier le premier élément de cette ligne, sept, par le déterminant de la matrice deux deux égale à 𝑘, moins 24; 15, moins 21. Cela nous donne sept multiplié par moins 21𝑘 plus 360. Pour obtenir l’expression entre parenthèses, nous avons multiplié 𝑘 par moins 21 auquel nous avons soustrait moins 24 fois 15. Nous allons ensuite multiplier moins quatre par le déterminant de la matrice deux deux égale à 22, moins 24; moins neuf, moins 21. Cela nous donne moins quatre multiplié par moins 462 moins 216. Enfin, nous additionnons moins 15 multiplié par le déterminant de la matrice deux deux égale à 22, 𝑘; moins neuf, 15. Cela revient à soustraire 15 multiplié par 330 plus neuf 𝑘.

Nous avons maintenant une expression de notre déterminant, que nous allons développer pour la simplifier. Le déterminant de la matrice 𝐴 est égal à moins 147𝑘 plus 2520 plus 2712 moins 4950 moins 135𝑘, ce qui se simplifie en moins 282𝑘 plus 282. Nous posons que déterminant est égal à zéro et allons résoudre cette équation en commençant par additionner 282𝑘 des deux côtés. Puis, nous divisons par 282 pour obtenir que 𝑘 est égal à un.

Cela signifie que si 𝑘 est égal à un, alors le déterminant de la matrice 𝐴 est égal à zéro. Dans ce cas, le rang de la matrice 𝐴 ne serait pas égal à trois, donc la valeur que 𝑘 ne peut pas prendre est un.

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