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Vidéo de question : Déterminer la valeur des expressions impliquant les racines cubiques de l’unité Mathématiques

Déterminez la valeur de (9 - 𝜔² + 9𝜔⁴)² + (6 + 6𝜔² + 6𝜔⁴)², où 𝜔 est la racine cubique de l’unité.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de neuf moins 𝜔 au carré plus neuf 𝜔 à la puissance quatre le tout au carré plus six plus six 𝜔 au carré plus six 𝜔 à la puissance quatre le tout au carré, où 𝜔 est la racine cubique de l’unité.

Commençons par rappeler le cycle de multiplication des racines cubiques de l’unité. Puisque 𝜔 au cube est égal à un, 𝜔 à la puissance quatre est égal à 𝜔. Cela signifie que nous pouvons réécrire la première partie de l’expression comme neuf plus neuf 𝜔 moins 𝜔 au carré le tout au carré et la deuxième partie de l’expression comme six plus six 𝜔 plus six 𝜔 au carré le tout au carré.

Ensuite, nous pouvons factoriser chaque partie de l’expression. Cela nous donne neuf multiplié par un plus 𝜔 moins 𝜔 au carré le tout au carré plus six multiplié par un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré le tout au carré. Et pourquoi avons-nous fait cela ? Eh bien, nous savons que la somme de 𝜔 au carré, 𝜔 et un vaut zéro. Et cela peut être réorganisé de sorte que 𝜔 plus un soit égal à moins 𝜔 au carré. Ainsi, l’expression peut être simplifiée à neuf multiplié par moins 𝜔 au carré moins 𝜔 au carré le tout au carré plus six multiplié par zéro au carré. Six multiplié par zéro donne zéro. Et nous nous retrouvons avec moins 10𝜔 au carré. Moins 10 au carré nous donne 100, et élever au carré 𝜔 au carré nous donne 𝜔 à la puissance quatre. L’expression se simplifie à 100𝜔 à la puissance quatre.

En nous rappelant une fois de plus du cycle de multiplication nous disant que 𝜔 à la puissance quatre est égal à 𝜔, il nous reste 100𝜔. L’expression neuf moins 𝜔 au carré plus neuf 𝜔 à la puissance quatre le tout au carré plus six plus six 𝜔 au carré plus six 𝜔 à la puissance quatre au carré, écrite dans sa forme la plus simple, est 100𝜔.

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