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Vidéo de question : Déterminer la dérivée d’une fonction polynomiale à l’aide de la définition de la dérivée Mathématiques

Déterminez la dérivée de la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 6𝑥³ - 7𝑥² en utilisant la définition de dérivée, puis déterminez l’ensemble de définition de la fonction et l’ensemble de définition de sa dérivée.

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Transcription de vidéo

Déterminez la dérivée de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑥 au cube moins sept 𝑥 au carré en utilisant la définition de dérivée, puis déterminez l’ensemble de définition de la fonction et l’ensemble de définition de sa dérivée.

La question comporte deux parties. Commençons par répondre à la première partie de la question. Cette partie de la question nous demande de dériver la fonction 𝑓. En d’autres termes, trouver une fonction qui mesure la pente de la courbe donnée par 𝑓 en utilisant une méthode particulière, à savoir la définition de la dérivée. Cela signifie que nous ne devons pas utiliser d’autres méthodes, telles que la formule standard de dérivation des polynômes pour arriver à la réponse.

Quelle est la définition de dérivée ? La définition de la dérivée d’une fonction 𝑓 est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de l’expression 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout divisé par ℎ. Elle est noté 𝑓 apostrophe de 𝑥, également connu sous le nom de 𝑓 prime de 𝑥.

Essayons de trouver 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. Il s’agit simplement de 𝑥 remplacé par 𝑥 plus ℎ dans 𝑓, ce qui s’avère être six fois 𝑥 plus ℎ au cube moins sept fois 𝑥 plus ℎ au carré. Remplaçons cela dans la définition de la dérivée de 𝑓. Remplaçons également l’expression de la fonction 𝑓 dans la définition de la dérivée de 𝑓.

Maintenant, si nous substituons ℎ par zéro dans une tentative d’évaluer cette limite, alors nous obtenons la forme indéterminée zéro sur zéro, qui est indéfinie. Ainsi, nous ne pouvons pas remplacer ℎ par zéro. Afin d’éviter la forme indéterminée, essayons de factoriser le terme ℎ au numérateur afin qu’il s’annule avec le terme ℎ au dénominateur.

Commençons par factoriser l’expression pour 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. Tout d’abord, notez que 𝑥 plus ℎ au cube est égal à 𝑥 plus ℎ au carré multiplié par 𝑥 plus ℎ. Notez maintenant que le terme 𝑥 plus ℎ au carré est un facteur commun. Ainsi, nous pouvons factoriser et obtenir 𝑥 plus ℎ carré multiplié par six fois 𝑥 plus ℎ moins sept. Nous pouvons développer certaines parenthèses pour obtenir 𝑥 au carré plus deux 𝑥ℎ plus ℎ au carré le tout multiplié par six 𝑥 plus six ℎ moins sept.

Maintenant, en multipliant chaque terme dans les premières parenthèses par chaque terme dans les secondes parenthèses, nous obtenons six 𝑥 au cube plus six 𝑥 au carré ℎ moins sept 𝑥 au carré plus 12𝑥 au carré ℎ plus 12𝑥ℎ au carré moins 14𝑥ℎ plus six 𝑥ℎ au carré plus six ℎ au cube moins sept ℎ au carré. Maintenant, nous pouvons rassembler les termes similaires. Rassembler six 𝑥 au carré ℎ et 12𝑥 au carré ℎ, ainsi que 12𝑥ℎ au carré et six 𝑥ℎ au carré nous permet d’obtenir six 𝑥 au cube plus 18𝑥 au carré ℎ moins sept 𝑥 au carré plus 18𝑥ℎ au carré moins 14𝑥ℎ plus six ℎ au cube moins sept ℎ au carré.

Remplaçons cette expansion de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ dans la définition de la dérivée de 𝑓. Maintenant, distribuons le signe moins sur les secondes parenthèses de la limite. Ce faisant, nous obtenons la limite suivante. Maintenant, nous pouvons annuler les termes six 𝑥 au cube et moins six 𝑥 au cube, ainsi que les termes moins sept 𝑥 au carré et plus sept 𝑥 au carré pour obtenir la limite, lorsque ℎ tend vers zéro, de 18𝑥 carré ℎ plus 18𝑥ℎ carré moins 14𝑥ℎ plus six ℎ au cube moins sept ℎ carré le tout divisé par ℎ.

Remarquez que l’annulation des termes à l’étape précédente nous a laissé une somme de termes au numérateur qui contiennent tous le facteur ℎ. Cela signifie que nous pouvons factoriser le terme ℎ à partir du numérateur comme suit. Nous pouvons maintenant annuler le terme ℎ au numérateur et au dénominateur pour obtenir la limite suivante, dans laquelle nous pouvons substituer en toute sécurité ℎ est égal à zéro.

Ce faisant, nous obtenons 18𝑥 au carré plus 18𝑥 multiplié par zéro moins 14𝑥 plus six multiplié par zéro au carré moins sept multiplié par zéro. Cela nous laisse avec deux termes non nuls, 18𝑥 au carré moins 14𝑥. Ainsi, en utilisant la définition de la dérivée, nous avons constaté que la dérivée de la fonction 𝑓 est 18𝑥 au carré moins 14𝑥. Cela complète la réponse à la première partie de la question.

Pour répondre à la deuxième partie de la question, rappelons que le domaine de définition d’une fonction de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles il existe des valeurs de 𝑦. Par exemple, le domaine de définition de la fonction 𝑦 est égal à 𝑥 au carré est l’ensemble de tous les nombres réels. En effet, pour chaque nombre réel 𝑥, la valeur 𝑦, c’est à dire 𝑥 au carré, existe.

Voyons un autre exemple. Le domaine de définition de la fonction 𝑦 égale logarithme de 𝑥 est l’ensemble de tous les nombres réels strictement positifs. En effet, pour chaque nombre réel positif 𝑥, le logarithme de 𝑥, qui est 𝑦, existe. Notez que si 𝑥 est inférieur ou égal à zéro, alors logarithme de 𝑥 n’est pas défini.

Traçons la fonction 𝑓. En factorisant 𝑓, nous obtenons 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré multiplié par six 𝑥 moins sept. Ainsi, 𝑓 est une fonction cubique avec une racine double en 𝑥 égale zéro et une racine unique en 𝑥 égale sept sur six. Donc, elle ressemble à ceci.

Rappelons que les directions des queues à droite et à gauche d’une fonction cubique sont déterminées par le signe du terme cubique. Si le signe du terme cubique est positif, alors la queue à droite ira vers le haut car si 𝑥 est un grand nombre positif, alors 𝑥 au cube est multiplié par un coefficient positif. De l’autre côté, la queue à gauche ira vers le bas car si 𝑥 est un grand nombre négatif, alors 𝑥 au carré est un grand nombre positif. Ainsi, en le multipliant par 𝑥, un grand nombre négatif, pour obtenir le terme cubique, cela donne un grand nombre négatif, lorsque le coefficient du terme cubique est positif.

Nous pouvons faire une analyse similaire si le coefficient du terme cubique est négatif. Dans le cas de la fonction cubique 𝑓 qui nous est donnée dans la question, le coefficient du terme cubique, qui est six, est positif. Ainsi, la queue à droite va vers le haut et la queue à gauche va vers le bas. À partir denotre tracé, nous pouvons voir que le domaine de définition de 𝑓 est l’ensemble de tous les nombres réels.

Traçons maintenant la dérivée de 𝑓. La dérivée de 𝑓 est la fonction du second degré 18𝑥 au carré moins 14𝑥 qui se factorise en deux 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 moins sept. Cette fonction du second degré a deux racines distinctes, 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à sept sur neuf. Ainsi, sa courbe est une parabole passant par zéro et sept sur neuf sur l’axe des abscisses. La parabole s’ouvre vers le haut lorsque le coefficient du terme 𝑥 au carré, qui est 18, est positif. À partir du tracé, nous pouvons voir que le domaine de définition de la dérivée de 𝑓 est aussi l’ensemble de tous les nombres réels. Cela complète la réponse à la deuxième partie de la question.

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