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Vidéo de question : Détermination de l’intensité d’une force agissant sur un corps à masse variable étant donné son vecteur de position en fonction du temps Mathématiques

La masse d’un objet à l’instant 𝑡 est définie par 𝑚 (𝑡) = (2𝑡 + 12) kg, alors que son vecteur position est 𝐫 (𝑡) = (2𝑡² + 3𝑡 + 15) 𝐜, où 𝐜 est un vecteur unitaire constante, 𝐫 est mesuré en mètres et 𝑡 est mesuré en secondes. Déterminez l’intensité de la force agissant sur l’objet à l’instant 𝑡 = 2 secondes.

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Transcription de vidéo

La masse d’un corps à l’instant 𝑡 est donnée par 𝑚 de 𝑡 égale deux 𝑡 plus 12 kilogrammes, alors que son vecteur de position est 𝐫 de 𝑡 est égal à deux 𝑡 au carré plus trois 𝑡 plus 15 𝐜, où 𝐜 est un vecteur unitaire constant, le vecteur 𝐫 est mesuré en mètres et 𝑡 est mesuré en secondes. Déterminez l’intensité de la force agissant sur le corps à l’instant 𝑡 est égal à deux secondes.

Dans cette question, on veut trouver l’intensité d’une force agissant sur un corps de masse variable. La masse est donnée en fonction du temps, et donc la masse du corps va varier en fonction de la valeur de 𝑡. Dans ces cas, le taux de variation de la masse et du vecteur vitesse du corps dépendent de l’intensité de la force, de la masse et du vecteur vitesse du corps. Et la formule qui les relie est 𝐹 est égal à 𝑚 fois d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑚 fois d𝑚 sur d𝑡, où 𝑚 est la masse du corps et 𝑣 est son vecteur vitesse.

Ainsi, afin de trouver l’intensité de la force agissant sur notre corps, on doit établir des valeurs pour 𝑚, 𝑣, d𝑣 sur d𝑡 et d𝑚 sur d𝑡. En fait, ce seront des expressions que l’on va évaluer plus tard, à 𝑡 égale deux.

𝑚 est égal à deux 𝑡 plus 12. Alors, comment fait-on pour calculer d𝑚 sur d𝑡 ? Eh bien, on dérive terme par terme, puisque la dérivée de la somme de deux termes ou plus est égale à la somme des dérivées de chaque terme. Alors, en fait, la dérivée de deux 𝑡 est simplement deux, et la dérivée d’une constante est zéro. Ainsi, le taux de variation de la masse par rapport au temps est une constante ; sa valeur est deux.

Mais comment trouver le vecteur vitesse ? On nous donne un vecteur qui décrit la position à l’instant 𝑡. C’est deux 𝑡 au carré plus trois 𝑡 plus 15 𝐜. Alors 𝐜 est un vecteur unitaire constant, et donc on conclut que le vecteur position pointe dans une seule direction. Cela signifie que l’on peut le considérer comme un scalaire dans une direction. Dans cet esprit, on sait que le vecteur vitesse est le taux de changement du vecteur position par rapport au temps. On va dériver notre expression pour 𝐫 pour trouver une expression pour 𝑣.

Encore une fois, on fait cela terme par terme. La dérivée de deux 𝑡 au carré est deux fois deux 𝑡, ce qui fait quatre 𝑡. Alors la dérivée de trois 𝑡 est trois et la dérivée de 15 est zéro. Donc, dans la direction du vecteur unitaire constant 𝐜, le vecteur vitesse est de quatre 𝑡 plus trois. Ce faisant, on est en mesure de calculer une expression pour d𝑣 sur d𝑡.

Lorsque l’on dérive quatre 𝑡 plus trois, il nous reste simplement quatre. On a des expressions pour la masse, d𝑚 sur d𝑡, la vitesse et d𝑣 sur d𝑡. Donc, la force est la masse fois d𝑣 sur d𝑡, qui est deux 𝑡 plus 12 fois quatre. Ensuite, on ajoute le produit de 𝑣 et d𝑚 sur d𝑡. Et c’est quatre 𝑡 plus trois fois deux. On va développer le quatre sur cette première parenthèse et le deux sur la seconde. Et cela nous donne huit 𝑡 plus 48 plus huit 𝑡 plus six. Et c’est 16𝑡 plus 54.

Et ainsi on obtient l’équation pour 𝐹. La force à l’instant 𝑡 est 16𝑡 plus 54. En fait, c’est aussi l’intensité de la force, puisque l’on ne considère qu’une direction et que 𝑡 est forcément positif. On substitue 𝑡 égal à deux dans cette équation. Lorsque 𝑡 est deux, 𝐹 est 16 fois deux plus 54. Soit 32 plus 54, soit 86. Et donc l’intensité de la force agissant sur le corps à 𝑡 égale deux secondes est de 86 newtons.

À ce stade, il convient de noter que l’on peut calculer une expression pour la vitesse sous forme de vecteur. Cela va aboutir à une force totale sous forme vectorielle. Mais encore une fois, puisque cela n’agit que dans une direction, on va obtenir de même 86 comme intensité.

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