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Vidéo de la leçon: Résoudre des équations du premier degré dans l'ensemble des nombres réels Mathématiques • Deuxième préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du premier degré dans l'ensemble des nombres réels, et à représenter leurs solutions sur une droite numérique.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du premier degré dans l'ensemble des nombres réels, et à représenter leurs solutions sur une droite numérique. Nous nous concentrerons sur les équations du premier degré principalement de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 égale 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles et 𝑎 est non nul.

Nous rappelons que lors de la résolution des équations, nous effectuons les mêmes opérations des deux côtés de l’équation de sorte que l’équation reste équilibrée. Ces opérations seront les inverses des opérations effectuées lors de la formation de l’équation. Ainsi, pour les équations de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 égale 𝑐, 𝑥 sera égal à 𝑐 moins 𝑏 divisé par 𝑎. Pour résoudre l’équation en deux étapes, nous devons d’abord isoler le terme 𝑥, puis le diviser par son coefficient. Cela équivaut à ajouter l’opposé de 𝑏 aux deux côtés, puis à multiplier les deux côtés par l’inverse de 𝑎. Nous récapitulerons cette méthode formelle dans notre premier exemple.

Déterminez, dans l’ensemble des nombres réels, l’ensemble solution de l’équation deux 𝑥 plus trois est égal à cinq. Laquelle des réponses suivantes représente la solution de l’équation sur une droite numérique ? Est-ce l’option (A), (B), (C), (D) ou (E) ?

La première partie de cette question veut que nous résolvions une équation du premier degré sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 égale 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes. Afin de résoudre l’équation deux 𝑥 plus trois égale cinq, nous commençons par soustraire trois des deux côtés. Et puisque cinq moins trois est égal à deux, il nous reste deux 𝑥 égale deux. Notre étape suivante est de diviser par le coefficient de 𝑥, dans ce cas, deux. Comme deux 𝑥 divisé par deux est 𝑥 et deux divisé par deux est un, nous avons 𝑥 est égal à un. L’ensemble solution de l’équation deux 𝑥 plus trois égale cinq contient l’élément solitaire un.

La deuxième partie de cette question nous demande d’identifier la solution de l’équation sur une droite numérique. L’option (E) représente la solution 𝑥 égale huit. L’option (D) est la solution 𝑥 égale trois. L’option (C) est la solution 𝑥 égale quatre. Et l’option (B) représente la solution 𝑥 égale deux. Puisque la solution de notre équation était 𝑥 est égal à un, aucune de ces options n’est correcte. La droite numérique qui représente la solution de l’équation deux 𝑥 plus trois égale cinq est l’option (A). Nous avons un point solide représentant la valeur unique un.

Dans ce premier exemple, la résolution de l’équation était raisonnablement simple car les coefficients et les constantes impliqués étaient tous des entiers. Nous allons maintenant considérer des équations plus compliquées qui impliquent des coefficients ou des termes constants qui sont des racines. Celles-ci conduisent parfois à des solutions elles-mêmes impliquant des radicaux.

Lequel des énoncés suivants est l’ensemble solution de l’équation deux 𝑥 plus deux racine de trois égale deux dans les nombres réels ? Est-ce (A) un plus racine de trois, (B) un moins racine de trois, (C) deux plus racine de trois, (D) deux moins racine de trois, ou (E) quatre moins racine de trois ?

Dans cette question, nous devons résoudre une équation du premier degré sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 égale 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes. Nous résolvons l’équation à deux étapes deux 𝑥 plus deux racine de trois égale deux en isolant d’abord le terme 𝑥. Pour ce faire, nous soustrayons deux racine de trois des deux côtés. Cela revient à ajouter l’opposé de 𝑏 aux deux côtés de l’équation générale. Lorsque nous faisons cela, le côté gauche devient deux 𝑥. Et sur le côté droit, nous avons deux moins deux racine de trois.

Notre étape suivante consiste à diviser les deux côtés de l’équation par deux. C’est le coefficient de 𝑥. Sur le côté gauche, les deux s’annulent, en nous laissant avec 𝑥. Et sur le côté droit, il nous reste un moins racine de trois. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble solution de l’équation deux 𝑥 plus deux racine de trois égale deux est l’option (B) un moins racine de trois.

Dans notre exemple suivant, le coefficient de la variable inconnue 𝑥 est un radical. De ce fait, nous devrons diviser par ce radical, ce qui conduira à une réponse impliquant un dénominateur irrationnel. Nous devrons ensuite rappeler le processus de rationalisation du dénominateur d’une fraction.

Déterminez, dans l’ensemble des nombres réels, l’ensemble solution de la racine de l’équation trois 𝑥 plus deux est égal à cinq. Laquelle des réponses suivantes montre la solution de l’équation sur une droite numérique ? Est-ce l’option (A), l’option (B), l’option (C), l’option (D) ou l’option (E) ?

La première partie de cette question consiste à résoudre une équation du premier degré de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 égale 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes non nulles. Pour résoudre l’équation de la racine de trois 𝑥 plus deux est égal à cinq, nous commençons par isoler le terme 𝑥. Nous le faisons en soustrayant deux des deux côtés. La racine de trois 𝑥 est donc égale à trois. Ensuite, nous divisons par la racine de trois. Sur le côté gauche, les racines de trois s’annulent et il nous reste 𝑥. Notre expression à droite, trois sur la racine de trois, est une fraction, et son dénominateur est irrationnel. Nous devons donc rationaliser le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine de trois. Et puisque la racine de trois multipliée par la racine de trois est trois, nous avons 𝑥 est égal à trois racine de trois sur trois. Et cela se simplifie à 𝑥 est égal à la racine de trois.

L’ensemble solution de la racine d’équation trois 𝑥 plus deux égale cinq est la valeur unique de racine de trois.

La deuxième partie de cette question nous demande d’identifier la droite numérique qui représente cette solution. Puisque la racine carrée de un est égale à un et que la racine carrée de quatre est égale à deux, nous savons que la racine carrée de trois doit être comprise entre un et deux. Cela signifie que nous pouvons exclure les options (B), (C), (D) et (E), car (B) a une solution entre trois et quatre, (C) et (D) ont une solution entre zéro et un, et (E) a la solution 𝑥 est égal à trois. La droite numérique correcte est donc l’option (A). Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, il convient de noter que la racine carrée de trois est égale à 1,732 et ainsi de suite. Et comme le point solide est plus proche de deux que un, cela confirme la réponse de l’option (A).

Avant de regarder un dernier exemple, nous résumerons les étapes de la résolution d’équations du premier degré en deux étapes. Afin de résoudre des équations du premier degré en deux étapes de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 est égal à 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nul, nous suivons les étapes suivantes. Premièrement, nous isolons la variable inconnue en ajoutant l’opposé de 𝑏 aux deux côtés de l’équation. Deuxièmement, nous divisons les deux côtés de l’équation par le coefficient de la variable inconnue. Cela équivaut à multiplier les deux côtés par l’inverse de 𝑎. Enfin, si cela conduit à une fraction avec un dénominateur irrationnel, nous rationalisons le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le radical du dénominateur.

Nous allons maintenant considérer un dernier exemple où nous devons suivre ces trois étapes.

Déterminez, dans l’ensemble des nombres réels, l’ensemble solution de l’équation de la racine de cinq multipliée par la racine de trois 𝑥 moins deux égale quatre racine de cinq.

Il y a plusieurs méthodes que nous pourrions utiliser pour répondre à cette question. Par exemple, nous pourrions commencer par distribuer les parenthèses sur le côté gauche. Cependant, comme la variable inconnue 𝑥 apparaît entre parenthèses, il sera plus simple de diviser les deux côtés de l’équation par la racine de cinq en premier. Lorsque nous faisons cela, nous avons la racine de cinq multipliée par la racine de trois 𝑥 moins deux le tout divisé par la racine de cinq est égal à quatre racine de cinq sur la racine de cinq. Des deux côtés de l’équation, les racines de cinq s’annulent. Ainsi, notre équation devient une racine de trois 𝑥 moins deux est égale à quatre. Nous pouvons alors ajouter deux des deux côtés de cette équation pour isoler le terme 𝑥. Comme quatre plus deux égale six, nous avons la racine de trois 𝑥 égale six.

Ensuite, nous divisons par le coefficient de 𝑥, dans ce cas, racine de trois. Et 𝑥 est donc égal à six sur la racine de trois. Puisque le dénominateur de notre fraction est un radical, nous devons rationaliser le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine de trois. En rappelant que la racine de trois multipliée par la racine de trois est trois, nous avons 𝑥 est égal à six racine de trois sur trois, ce qui se simplifie à son tour à 𝑥 est égal à deux racine de trois. L’ensemble solution de l’équation de la racine de cinq multiplié par la racine de trois 𝑥 moins deux est égal à quatre racine de cinq est la valeur unique deux racine de trois. Nous pourrions vérifier cette réponse en substituant la valeur de 𝑥 dans l’équation d’origine.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en récapitulant les points clés. Lors de la résolution d’équations, nous effectuons toujours les mêmes opérations des deux côtés. Nous avons vu qu’une équation du premier degré à deux étapes de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 égale 𝑐 peut être résolue en isolant d’abord la variable inconnue, puis en la divisant par son coefficient. Si nous avons une réponse fractionnaire avec un dénominateur irrationnel, nous devons rationaliser cela. Et nous le faisons en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le radical du dénominateur. Nous devons ensuite simplifier cette réponse. Enfin, nous avons vu que la solution à une équation du premier degré peut être représentée en utilisant un point solide sur une droite numérique. Dans le cas de solutions irrationnelles, la position du point sera approximative.

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