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Vidéo de question : Simplifier une expression matricielle Mathématiques

Sachant que 𝐴 et 𝐵 sont des matrices inversibles, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝐵 ⋅ (𝐴𝐵)⁻¹ ?

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝐴 et 𝐵 sont des matrices inversibles, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝐵 fois l’inverse de 𝐴 𝐵 ? Est-ce (A) la matrice 𝐴, (B) l’inverse de 𝐴, (C) l’inverse de 𝐵, (D) la transposée de 𝐴 ? Ou (E) la transposée de 𝐵 ?

Dans cette question, nous étudions deux matrices inversibles, la matrice 𝐴 et la matrice 𝐵. Et nous devons utiliser cette information pour déterminer une expression de 𝐵 fois l’inverse de 𝐴𝐵. Nous remarquons alors que puisque 𝐴 et 𝐵 sont des matrices inversibles, nous pouvons réécrire 𝐴𝐵 moins un. On rappelle que pour deux matrices inversibles 𝐴 et 𝐵 de même dimension, l’inverse de 𝐴𝐵 est égal à l’inverse de 𝐵 fois l’inverse de 𝐴. Et nous pouvons appliquer cela à l’expression qui nous est donnée dans la question. On obtient 𝐵 fois 𝐵 moins un fois 𝐴 moins un.

Et nous pouvons maintenant remarquer quelque chose d’intéressant. L’expression contient la matrice 𝐵. Que l’on multiplie à droite par 𝐵 moins un. Et nous allons pouvoir simplifier cela. Tout d’abord, on rappelle que le produit matriciel est associatif. Cela signifie que l’on peut calculer le produit de trois matrices ou plus dans n’importe quel ordre. En d’autres termes, pour trois matrices, 𝑀 un, 𝑀 deux et 𝑀 trois dont les dimensions permettent de calculer leur produit, 𝑀 un fois le produit de 𝑀 deux et 𝑀 trois est égal au produit de 𝑀 un et 𝑀 deux fois 𝑀 trois.

Et nous pouvons appliquer cela à notre expression pour évaluer 𝐵 fois 𝐵 moins un en premier. Cela est très utile car nous savons que toute matrice multipliée par son inverse nous donne la matrice identité de même ordre. On obtient ainsi la matrice identité d’ordre 𝑛 multipliée par 𝐴 moins un, où 𝑛 est l’ordre de la matrice carrée 𝐵.

Et il y a quelque chose qui mérite d’être souligné ici. L’expression initiale contenait le produit de 𝐴 et 𝐵. Et puisque 𝐴 et 𝐵 sont toutes les deux des matrices carrées dont nous calculons le produit, nous pouvons en déduire qu’elles sont des matrices carrées de même ordre. Donc la matrice 𝐴 moins un est également d’ordre 𝑛.

On rappelle alors que multiplier une matrice par la matrice identité du même ordre donne la matrice d’origine. Donc, la matrice identité fois 𝐴 moins un est simplement égal à 𝐴 moins un, ce qui est notre réponse finale et qui correspond à la réponse (B).

Nous avons ainsi montré que si 𝐴 et 𝐵 sont des matrices inversibles, alors 𝐵 fois l’inverse de 𝐴𝐵 est simplement égal à l’inverse de 𝐴, ce qui était la réponse (B).

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