Transcription de la vidéo
Déterminez l’équation générale du plan qui contient la droite d’équation 𝑥 plus deux sur sept égale 𝑦 moins six sur cinq égale 𝑧 plus neuf sur cinq et qui est perpendiculaire au plan d’équation moins 𝑥 plus 𝑦 moins deux 𝑧 égale deux.
Nous cherchons donc l’équation générale d’un plan. Disons qu’il s’agit du plan dans le plan de notre écran. Et nous savons que ce plan contient une droite dont l’équation nous est donnée et qu’elle est perpendiculaire à un autre plan dont l’équation nous est donnée. Disons que c’est ce plan perpendiculaire.
En général, pour trouver l’équation d’un plan, nous avons besoin de deux informations. Tout d’abord, nous avons besoin d’un vecteur qui est normal ou perpendiculaire au plan. Notez que ce vecteur n’est pas unique. Il y a en fait une infinité de vecteurs qui seraient perpendiculaires à une surface bidimensionnelle. Chacun d’entre eux marchera pour nous aider à trouver l’équation du plan. Et deuxièmement, nous devons connaître un point qui se trouve dans le plan.
Alors réfléchissons à cela par rapport à notre scénario. Le plan qui nous intéresse contient une droite. Et l’équation de cette droite nous est donnée sous forme symétrique. Cette forme est appelée ainsi parce que ces trois fractions égales entre elles sont également égales à un facteur d’échelle que nous pouvons appeler 𝑡. En écrivant l’équation de notre droite de cette façon, nous nous préparons à l’exprimer sous ce qu’on appelle une forme paramétrique. L’idée est que nous pouvons écrire trois équations distinctes : une pour les 𝑥, une pour les 𝑦 et une pour les coordonnées 𝑧 de cette droite. Ces trois équations proviennent du fait que ces trois fractions sont toutes égales au même facteur d’échelle.
Ainsi, par exemple, le fait que 𝑥 plus deux sur sept égale 𝑡 implique que 𝑥 lui-même est égal à sept fois 𝑡 moins deux. Et pour l’équation 𝑦, puisque 𝑦 moins six sur cinq est égal à 𝑡, nous pouvons écrire que 𝑦 est égal à cinq 𝑡 plus six. Enfin, pour l’équation 𝑧, nous avons 𝑧 égal à cinq fois 𝑡 moins neuf. L’équation de notre droite est maintenant écrite sous forme paramétrique. Et à partir de cette forme, nous pouvons identifier d’abord un point par lequel passe la droite et ensuite un vecteur qui est parallèle à la droite.
Nous pouvons le voir en écrivant l’équation de notre droite comme un vecteur, en rassemblant les équations 𝑥 et 𝑦 et 𝑧 en tant que composantes. Exprimé ainsi, nous disons que notre droite est égale à un vecteur avec des composantes sept, cinq, cinq fois le facteur d’échelle 𝑡 plus un vecteur allant de l’origine du repère au point avec les coordonnées moins deux, six, moins neuf.
Puisque nous connaissons un point sur notre droite et que cette droite appartient à notre plan d’intérêt, nous avons rempli la deuxième condition. Nous connaissons maintenant un point de notre plan. Nous appellerons ce point 𝑃 zéro. Et comme nous l’avons vu, il a les coordonnées moins deux, six, moins neuf. Maintenant, ce vecteur ici n’est pas normal à notre plan, mais il lui est parallèle. Il se situe dans le plan, nous appellerons donc ce vecteur 𝐏 un. Il s’agit là de toutes les informations utiles que nous obtiendrons sur le plan à partir de cette droite. Mais nous pouvons maintenant rappeler que le plan qui nous intéresse est également perpendiculaire au plan décrit par cette équation.
Si nous devions dessiner dans un vecteur normal ou perpendiculaire au deuxième plan, cela pourrait ressembler à ceci. Notez que ce vecteur est parallèle à au plan qui nous intéresse. Et si nous regardons l’équation de ce plan, nous pouvons en fait choisir les composantes d’un tel vecteur. Lorsque notre plan est écrit sous cette forme, les valeurs qui multiplient 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les composantes d’un vecteur perpendiculaire au plan. Ces valeurs, nous le voyons, sont moins un, plus un et moins deux. Nous notons également qu’un vecteur normal ou perpendiculaire à ce plan sera parallèle à celui que nous recherchons. Nous pouvons alors appeler ce vecteur 𝐏 deux car il est parallèle au plan qui nous intéresse.
Jusqu’à présent, nous n’avons toujours pas de vecteur normal à ce plan. Mais si nous prenons le produit vectoriel de 𝐏 un et 𝐏 deux, les vecteurs parallèles à notre plan, alors nous nous retrouverons avec un vecteur perpendiculaire aux deux. Et par conséquent, ce résultat, le vecteur qui vient du produit vectoriel de 𝐏 un et 𝐏 deux, sera normal ou perpendiculaire à notre plan. Ce produit vectoriel est égal au déterminant de cette matrice trois fois trois. Notez que dans la rangée supérieure, nous avons les vecteurs unitaires 𝐢 chapeau, 𝐣 chapeau et 𝐤 chapeau, puis dans les deuxième et troisième rangées les composantes respectives de 𝐏 un et 𝐏 deux. En calculant ce produit vectoriel, la composante en 𝐢 est égale au déterminant de cette matrice deux fois deux. Cinq fois moins deux moins cinq fois un vaut moins 10 moins cinq.
Alors l’opposé de la composante en 𝐣 est égal au déterminant de cette matrice. Sept fois moins deux moins cinq fois moins un donne moins 14 plus cinq. Et enfin, la composante en 𝐤 est donnée par ce déterminant, qui est sept fois un moins cinq fois moins un ou sept plus cinq. Ce sont les composantes de notre produit vectoriel, et nous pouvons l’écrire simplement comme un vecteur avec les composantes moins 15, neuf et 12. Il s’agit donc du vecteur normal, le vecteur perpendiculaire au plan dont nous voulons trouver l’équation.
Nous avons maintenant rempli les deux conditions. Et pour trouver l’équation générale de ce plan, nous allons faire de la place. Et nous pouvons rappeler que la forme vectorielle de l’équation d’un plan est donnée par cette expression. Ici, 𝐧 est un vecteur normal au plan, 𝐫 est un vecteur vers un point arbitraire du plan, tandis que 𝐫 zéro est un vecteur vers un point connu du plan. En utilisant les composantes du vecteur normal que nous avons trouvé ainsi que les coordonnées du point 𝑃 zéro, qui se trouve dans notre plan, nous pouvons écrire que le produit scalaire du vecteur avec les composantes moins 15, neuf, 12 et un vecteur général avec les composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal au produit scalaire du vecteur normal et d’un vecteur au point 𝑃 zéro.
Sur le côté gauche de cette équation, lorsque nous calculons ce produit scalaire, nous obtenons moins 15𝑥 plus neuf 𝑦 plus 12𝑧. Cela équivaut à moins 15 fois moins deux, soit 30, plus neuf fois six, soit 54, plus 12 fois moins neuf soit moins 108. Ces trois valeurs s’ajoutent pour donner moins 24. À ce stade, nous nous rapprochons de l’expression de l’équation du plan sous forme générale. Tout ce que nous devons faire est de réorganiser les choses pour que zéro apparaisse dans le membre de droite de notre équation.
Nous pouvons voir que pour ce faire, nous allons ajouter 24 des deux côtés. Cela nous donne cette équation. Et remarquez que tout ce qui se trouve à gauche de cette équation est divisible par moins trois. Nous pouvons alors diviser les deux membres de l’équation par cette valeur. À droite, zéro divisé par moins trois est toujours égal à zéro. Mais à gauche, nous avons plus cinq 𝑥 moins trois 𝑦 moins quatre 𝑧 moins huit. C’est la forme générale de l’équation de notre plan, cinq 𝑥 moins trois 𝑦 moins quatre 𝑧 moins huit égale zéro.
