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Dans le développement de deux moins 𝑥 au carré à la puissance neuf selon les exposants décroissants de 𝑥, trouvez le coefficient de 𝑥 à la puissance 10.
Dans cette question, on nous donne une expression binomiale écrite sous la forme 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑛. Une façon de résoudre un problème de ce type est d’utiliser le triangle de Pascal. Cependant, lorsque l’exposant est élevé, généralement supérieur à cinq, ce processus devient assez lourd. Par conséquent, nous utiliserons la formule du binôme de Newton. Elle indique que 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à zéro parmi 𝑛 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 plus un parmi 𝑛 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un multiplié par 𝑏 à la puissance un et ainsi de suite. En considérant le terme général mis en évidence, nous rappelons que 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟 multiplié par factorielle 𝑟. En se déplaçant de la gauche vers la droite, les exposants de 𝑎 diminuent et ceux de 𝑏 augmentent d’un terme au suivant.
Dans cette question, la valeur de 𝑎 est égale à deux, la valeur de 𝑏 est égale à moins 𝑥 au carré et 𝑛 est égal à neuf. Bien que nous pourrions écrire le développement complet de deux moins 𝑥 au carré, le tout élevé à la puissance neuf, nous ne sommes intéressés que par le terme contenant 𝑥 à la puissance 10. De nos propriétés sur les exposants, nous rappelons que 𝑥 à la puissance 𝑎 le tout élevé à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑏. Cela signifie que 𝑥 au carré élevé à la puissance cinq est égal à 𝑥 à la puissance 10. Cela signifie que le terme auquel nous nous intéressons est celui contenant 𝑏 à la puissance cinq. Le terme que nous examinons dans cette question est donc celui égal à cinq parmi neuf multiplié par 𝑎 à la puissance quatre multiplié par 𝑏 à la puissance cinq. En remplaçant par nos valeurs de 𝑎 et 𝑏, nous obtenons cinq parmi neuf multiplié par deux à la puissance quatre multiplié par moins 𝑥 au carré à la puissance cinq.
Cinq parmi neuf est égal à factorielle neuf divisé par factorielle cinq multiplié par factorielle quatre. Saisir ceci dans une calculatrice nous donne 126. Deux à la puissance quatre est égal à 16. Puisque moins un à la puissance cinq est égal à moins un, moins 𝑥 au carré à la puissance cinq est égal à moins 𝑥 à la puissance 10. Notre expression se simplifie en 126 multiplié par 16 multiplié par moins 𝑥 à la puissance 10. Cela équivaut à moins 2016 multiplié par 𝑥 à la puissance 10. Puisqu’on nous a demandé de trouver le coefficient de 𝑥 à la puissance 10, la réponse finale est moins 2016.