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Vidéo de question : La règle de puissance dans l’intégration Mathématiques

Déterminez l’expression générale de la fonction ∫ −𝑥⁹ d𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale de la fonction primitive de moins 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥. Ceci est aussi appelé l’intégrale sans bornes de moins 𝑥 à la puissance neuf.

Pour 𝑛 différent de moins un, l’intégrale de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑛 plus un fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un plus une constante arbitraire 𝐶. Cela correspond Presque à la forme que nous avons, mais nous avons ce signe moins ici.

Nous pouvons utiliser le fait que la primitive d’un multiple scalaire d’une fonction n’est que ce multiple scalaire de la primitive de la fonction. Ainsi, avec 𝑘 égal à moins un, nous pouvons voir que la primitive de moins 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥 est juste moins la primitive de 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥.

En prenant 𝑛 égal à neuf, nous pouvons voir que la primitive de 𝑥 à la puissance neuf, en utilisant notre formule, est un sur neuf plus un fois 𝑥 à la puissance neuf plus un plus 𝐶.

Ainsi, en combiannt cela avec le signe moins que nous avons, nous obtenons moins un sur 10 fois 𝑥 à la puissance 10 moins 𝐶. Ce moins 𝐶 nous indique que nous soustrayons une constante arbitraire de notre fonction, cette constante pourrait être positive ou négative, nous pourrions donc aussi bien dire que nous ajoutons son opposé.

Ainsi, plutôt que de soustraire cette constante arbitraire, nous pouvons dire que nous ajoutons son opposé et nous avons donc moins un sur 10 fois 𝑥 à la puissance 10 plus 𝐶, ce qui est plus conventionnel.

Notre réponse finale est que la primitive de moins 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥 est moins un sur 10 fois 𝑥 à la puissance 10 plus 𝐶 et que plus 𝐶 représentant une constante arbitraire est très important, mais aussi facile à oublier.

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