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Vidéo de question : Déterminer les valeurs maximale et minimale locales d’une fonction polynomiale Mathématiques

Déterminez le maximum local et le minimum local de la fonction 𝑦 = 2𝑥³ + 6𝑥² - 11.

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Transcription de vidéo

Déterminez le maximum local et le minimum local de la fonction 𝑦 est égal à deux 𝑥 au cube plus six 𝑥 au carré moins 11.

Ainsi, nous nous demandons d’abord ce qu’est le maximum local et le minimum local. Bien, le maximum local et le minimum local, comme je l’ai montré ici sur le schéma d’une fonction générale, sont les points où notre pente est égale à zéro. En effet, ils correspondent aux points de changement de variation de la fonction. Ainsi, s’ils correspondent aux points où la pente est égale à zéro, cela signifie que la première chose à faire est de trouver la pente de notre fonction, puis de la définir égale à zéro pour nous aider à déterminer les valeurs 𝑥 et 𝑦 en ces points.

Ainsi, si nous dérivons deux 𝑥 au cube plus six 𝑥 au carré moins 11, nous allons obtenir notre équation de pente. Nous allons donc calculer d𝑦 d𝑥. Lorsque nous dérivons la fonction, nous obtenons six 𝑥 au carré plus 12𝑥. Juste pour nous rappeler comment nous avons dérivé, nous avons multiplié l’exposant par le coefficient. Ainsi, trois multiplié par deux nous a donné un six. Puis, nous réduisons l’exposant de un, donc trois moins un nous donne deux. Ainsi, nous obtenons six 𝑥 au carré. Puis, nous avons fait de même pour le deuxième terme. Enfin, pour le dernier terme, puisque nous avons une constante, en dérivant moins 11, nous obtenons juste zéro. Bien, nous avons maintenant notre équation de pente.

Maintenant, si nous la posons égale à zéro, nous pouvons trouver la valeur de la coordonnée 𝑥 de nos points critiques. Ainsi, pour résoudre pour trouver 𝑥, nous factorisons l’expression. Nous pouvons factoriser par six 𝑥 car six 𝑥 est un facteur à la fois de six 𝑥 au carré et de 12𝑥. A l’intérieur des parenthèses, nous allons avoir 𝑥 plus deux.

Ensuite, l’un des deux facteurs, six 𝑥 ou 𝑥 plus deux, doit être égal à zero pour que le produit soit nul.. Bien, commençons par six 𝑥, si 𝑥 est zéro, alors six 𝑥 est zéro. Puis, pour que 𝑥 plus deux soit égal à zéro, il faut que 𝑥 soit égal à moins deux car moins deux plus deux est égal à zéro. Nous aurions alors six 𝑥 multiplié par zéro, ce qui serait juste zéro.

Ainsi, maintenant pour trouver nos valeurs 𝑦, car nous souhaitons la paire de coordonnées de nos maximum local et minimum local, nous allons calculer la valeur de la fonction en ces points, nous allons donc remplacer 𝑥 est égal à zéro et moins deux dans 𝑦 est égal à deux 𝑥 au cube plus six 𝑥 au carré moins 11. Tout d’abord, nous allons commencer avec 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, nous allons obtenir 𝑦 est égal à deux multiplié par zéro au cube plus six multiplié par zéro au carré moins 11, ce qui va nous donner une valeur 𝑦, ou une valeur image, de moins 11.

Ensuite, nous allons faire substituer 𝑥 est égal à moins deux. Ainsi, quand nous faisons cela, nous allons obtenir deux multiplié par moins deux au cube plus six multiplié par moins deux au carré moins 11, ce qui signifie que nous allons d’abord obtenir moins 16 parce que nous avions deux multiplié par moins deux le tout au cube, où moins deux au cube donne moins huit. Nous obtenons donc moins 16 plus 24 moins 11. Cela va nous donner une valeur de la fonction égale à moins trois.

Nous avons donc trouvé nos valeurs maximale et minimale locales. A present, nous devons déterminer s’il s’agit bien de valeurs maximales ou minimales. Pour ce faire, nous allons utiliser la dérivée seconde.

Bien, pour trouver notre dérivée seconde, nous devons dériver notre équation de pente. Ainsi, nous dérivons six 𝑥 au carré plus 12𝑥. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 12𝑥 plus 12. Bien, nous avons trouvé notre dérivée seconde, mais pourquoi est-ce utile ? Si nous substituons nos valeurs de 𝑥 que nous avons trouvé plus tôt, alors nous pouvons déterminer si nos points sont des valeurs maximales ou minimales.

En effet, si notre dérivée seconde est supérieure à zéro, alors ce sera une valeur minimale. Si elle est inférieure à zéro, alors ce sera une valeur maximale. Maintenant, nous allons substituer 𝑥 est égal à zéro et moins deux dans 12𝑥 plus 12. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 12 multiplié par zéro plus 12, ce qui va nous donner une valeur de 12. Ainsi, nous savons que cette valeur sera minimale parce que supérieure à zéro.

Cependant, si nous substituons avec moins deux, nous allons obtenir 12 multiplié par moins deux, ce qui donne moins 24, plus 12, qui est égal à moins 12. Ainsi, ce point va être un maximum local car la valeur obtenue est inférieure à zéro. Nous pouvons donc dire que la fonction 𝑦 égale deux 𝑥 au cube plus six 𝑥 au carré moins 11 a un minimum local à moins 11 et un maximum local à moins trois.

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