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Vidéo de question : Déterminer des longueurs en utilisant les propriétés des droites parallèles Mathématiques

Sur la figure suivante, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

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Transcription de vidéo

Sur la figure suivante, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Regardons attentivement le schéma. Nous avons trois droites parallèles comme indiqué par les flèches bleues. Et il y a ensuite deux sécantes coupant ces trois droites parallèles. Les longueurs de plusieurs segments sont indiquées sur le schéma en fonction des variables 𝑥 et 𝑦 dont nous cherchons à calculer les valeurs. La propriété clé dont nous allons avoir besoin dans cette question est la suivante : des droites parallèles coupent des sécantes proportionnellement. En d’autres termes, pour ce schéma, le rapport entre les longueurs des segments 𝐽𝐾 et 𝐾𝐿 en haut du schéma est égal au rapport entre les longueurs des segments 𝑀𝑃 et 𝑃𝑄 en bas du schéma.

Nous pouvons alors remplacer les expressions en fonction de 𝑥 et 𝑦 de chacune de ces longueurs. Cela nous donne six 𝑥 moins 20 sur quatre 𝑥 moins huit égale cinq 𝑦 moins 25 sur trois 𝑦 moins sept. Vous êtes peut-être déjà en train de vous demander comment résoudre cette équation pour trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Mais le problème est que nous n’avons qu’une seule équation à deux inconnues. Et il n’est donc pas encore possible de la résoudre. Essayons donc de réfléchir aux autres informations qui nous sont données.

En observant attentivement le schéma, on remarque la présence de ces petits traits en bas, qui nous indiquent que les segments 𝑀𝑃 et 𝑃𝑄 sont de même longueur. Cela signifie que le rapport entre ces deux longueurs, et donc le rapport entre 𝐽𝐾 et 𝐾𝐿, doit être égal à un. Cela nous permet de séparer cela en une équation en fonction de 𝑥 uniquement et une équation en fonction de 𝑦 uniquement, toutes les deux égales à un. Puis de les résoudre séparément pour trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Nous avons donc les deux équations : six 𝑥 moins 20 sur quatre 𝑥 moins huit égale un et cinq 𝑦 moins 25 sur trois 𝑦 moins sept égale un. Commençons par l’équation de gauche. Je multiplie tout d’abord les deux membres de l’équation par quatre 𝑥 moins huit afin d’annuler le dénominateur. Cela donne six 𝑥 moins 20 égale quatre 𝑥 moins huit. Mais j’ai maintenant des 𝑥 aux deux membres de cette équation. Je vais donc les regrouper sur le même membre. J’ajoute 20 aux deux membres de l’équation. Cela donne six 𝑥 égale quatre 𝑥 plus 12. Et je mets tous les 𝑥 sur le même membre en soustrayant quatre 𝑥 des deux côtés. Cela nous donne deux 𝑥 égale 12. La dernière étape consiste maintenant à simplement diviser les deux membres de l’équation par deux. Et nous avons ainsi trouvé la valeur de 𝑥. 𝑥 est égal à six.

L’équation de 𝑦 peut être résolue de manière très similaire. Tout d’abord, je multiplie par trois 𝑦 moins sept, ce qui donne cinq 𝑦 moins 25 égale trois 𝑦 moins sept. N’hésitez pas à mettre la vidéo en pause un moment si vous voulez essayer de résoudre l’équation par vous même. La prochaine étape consiste à ajouter 25 aux deux membres. Donc, j’ai cinq 𝑦 égale trois 𝑦 plus 18. Je soustrais ensuite trois 𝑦 aux deux membres de l’équation, ce qui donne deux 𝑦 égale 18. Et enfin, je divise les deux membres de l’équation par deux. Et je trouve que la valeur de 𝑦 est neuf.

Nous avons donc la solution au problème : 𝑥 est égal à six et 𝑦 est égal à neuf. Rappelez-vous que la propriété clé que nous avons utilisée dans cette question était que des droites parallèles coupent des sécantes proportionnellement. Donc le rapport entre les longueurs des segments de la première sécante en haut du schéma était égal au rapport entre les longueurs des segments de la deuxième sécante en bas du schéma. Nous avons également dû observer avec attention le schéma afin de voir que les segments 𝑀𝑃 et 𝑃𝑄 étaient en fait de même longueur. Et que le rapport de leurs longueurs était dont égal à un.

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