Transcription de la vidéo
Un fermier souhaite installer une clôture autour d’un terrain de forme triangulaire. Deux côtés du triangle mesurent 72 mètres et 55 mètres. L’angle qu’ils forment mesure 83 degrés. Calculez la longueur de la clôture au mètre près.
Nous n’avons pas de diagramme dans cette question, nous devons donc commencer par dessiner la parcelle triangulaire en utilisant les informations fournies. Ce champ a des côtés de longueurs 72 mètres et 55 mètres. Et l’angle entre ces côtés, que nous pourrions appeler angle fermé ou inclus, vaut 83 degrés. Et puis nous refermons le triangle. On nous demande de trouver le périmètre de la clôture, ce qui signifie que nous devons calculer la longueur du troisième côté du triangle. Il ne s’agit pas d’un triangle rectangle et on nous donne les longueurs de deux côtés ainsi que la mesure de leur angle inclus. C’est exactement ce dont nous avons besoin pour appliquer la loi des cosinus afin de calculer la longueur du troisième côté. Rappelons sa définition.
La loi des cosinus stipule que dans un triangle non rectangle avec des côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et des angles opposés correspondants 𝐴, 𝐵 et 𝐶, 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cosinus 𝐴. Cela signifie que si nous connaissons les longueurs de deux côtés et la mesure de leur angle inclus, comme c’est le cas ici, nous pouvons calculer la longueur du troisième côté en appliquant la loi des cosinus.
Nous pouvons trouver utile de nommer les côtés et les angles de notre triangle en utilisant les lettres correspondant à celles utilisées dans la loi des cosinus. Cependant, cela n’est pas nécessaire si nous sommes à l’aise avec la loi des cosinus. Si nous pouvons nous rappeler que 𝑏 et 𝑐 représentent les deux longueurs de côté que nous connaissons et que 𝐴 représente leur angle inclus, alors nous pouvons remplacer les valeurs données directement dans la loi des cosinus sans avoir explicitement besoin de nommer les côtés et les angles en utilisant des lettres.
De toute façon, en remplaçant 55 et 72 pour les longueurs des côtés et 83 degrés pour l’angle entre eux, nous avons 𝑎 au carré égale 55 au carré plus 72 au carré moins deux fois 55 fois 72 fois le cosinus de 83 degrés. Nous pouvons évaluer certaines parties de cette expression pour obtenir 𝑎 au carré égal à 3025 plus 5184 moins 7920 cosinus de 83 degrés. Et en évaluant davantage, en nous assurant que notre calculatrice est en mode degré, nous obtenons 𝑎 au carré égale 7243,794. Maintenant, rappelez-vous, ceci est la valeur de 𝑎 au carré, pas la valeur de 𝑎. Nous devons donc trouver 𝑎 en prenant la racine carrée de ceci. Nous pouvons ignorer la solution négative parce que 𝑎 représente une longueur, nous avons donc 𝑎 égale 85,110.
Nous avons donc trouvé la longueur du troisième côté de ce triangle en appliquant la loi des cosinus. Enfin, nous devons trouver son périmètre. L’addition des trois longueurs donne 72 plus 55 plus 85,110, ce qui équivaut à 212,110. La question précise que nous devons donner une réponse au mètre près. Arrondissons donc cette valeur, et nous constatons que la longueur de la clôture au mètre près vaut 212 mètres.