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Vidéo de question : Évaluation du déterminant d’une matrice avec une colonne nulle Mathématiques

Utilisez les propriétés du déterminant pour évaluer [−8, −9, 0, 6, 2, 0, −5, 8, 0].

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Transcription de vidéo

Utilisez les propriétés du déterminant pour évaluer le déterminant de la matrice trois trois, moins huit, moins neuf, zéro, six, deux, zéro, moins cinq, huit, zéro.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer le déterminant d’une matrice donnée trois trois. On nous dit que nous pouvons le faire en utilisant les propriétés des déterminants. En effet, nous pourrions simplement évaluer le déterminant de cette matrice trois trois en utilisant la définition d’un déterminant. Cela nous donnerait la bonne réponse. Cependant, nous pouvons simplifier ce processus si nous utilisons l’une des propriétés des determinants ; en particulier, nous devons noter que la troisième colonne de cette matrice est constituée de zéros. Nous rappelons que nous pouvons évaluer le déterminant en développant selon n’importe quelle ligne ou colonne de la matrice. Il est généralement convenable de choisir la ligne ou la colonne avec le plus de zéros car cela entraînera l’annulation du plus grand nombre de termes.

En particulier, nous pouvons rappeler la définition suivante des déterminants où nous développons sur la troisième colonne. Le déterminant de la matrice trois trois 𝐴 est égal à la somme de 𝑖 égale un à trois de moins un à la puissance 𝑖 plus trois multipliée par 𝑎 indice 𝑖 trois fois la matrice mineure de 𝐴 en 𝑖 trois. En particulier, nous remarquons que tous ces termes partagent un facteur 𝑎 indice 𝑖 trois et ce sont les termes de la colonne sur laquelle nous développons. Dans ce cas, ce ne sont que des zéros. Par conséquent, si nous appliquions cette définition du déterminant à la matrice donnée dans la question, nous verrions que tous les termes ont un facteur zéro. Ainsi, le déterminant doit être égal à zéro.

Il convient de souligner que ce résultat est vrai en général. Si nous avons une matrice carrée où l’une des lignes ou colonnes ne contient que des zéros, alors nous pouvons évaluer le déterminant de cette matrice en développant selon la ligne ou la colonne de zéros. Ensuite, chaque terme du déterminant aura un facteur zéro. Le déterminant de cette matrice est donc zéro. Par conséquent, nous avons pu montrer que le déterminant de la matrice qui nous a été donné dans la question est égal à zéro.

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