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Vidéo de question : Déterminer l’équation d’une droite de régression des moindres carrés Mathématiques

Le tableau ci-dessous montre le prix d'un baril de pétrole et le taux de croissance économique. En utilisant les informations du tableau, déterminez l'équation de la droite de régression de la forme. Arrondissez 𝑎 et 𝑏 au millième.

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Transcription de vidéo

Le tableau ci-dessous montre le prix d'un baril de pétrole et le taux de croissance économique. En utilisant les informations du tableau, déterminez l'équation de la droite de régression de la forme 𝑦 chapeau égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. Arrondissez 𝑎 et 𝑏 au millième.

Nous souhaitons déterminer l’équation d’une droite de la forme 𝑦 chapeau égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. Pour cela, nous allons utiliser la méthode de régression des moindres carrés, où 𝑏 est égal à 𝑁 fois la somme des 𝑥𝑦 moins la somme des 𝑥 fois la somme des 𝑦 le tout divisé par 𝑁 fois la somme des 𝑥 au carré moins la somme des 𝑥, le tout au carré et 𝑎 est égal à la somme des 𝑦 moins 𝑏 fois la somme des 𝑥 le tout divisé par 𝑁 où 𝑁 est égal au nombre de points de données.

En pratique, la meilleure façon de résoudre ce type de problème est de calculer séparément chacune de ces sommes avant d’essayer de calculer 𝑎 et 𝑏. Nous allons donc avoir besoin de la somme des 𝑥, de la somme des 𝑦, de la somme des 𝑥 fois 𝑦 et de la somme des 𝑥 au carré. Mais avant cela, nous devons définir laquelle de ces lignes est 𝑥 et laquelle est 𝑦. Rappelez-vous que 𝑥 doit être la variable indépendante et 𝑦 la variable dépendante. Dans ce cas, on compare le prix du baril de pétrole en dollars au taux de croissance économique.

Le prix d’un baril de pétrole en dollars est la variable indépendante. Et nous voulons mesurer le taux de croissance économique en fonction du prix du pétrole. Nous pouvons à présent calculer la somme de toutes les valeurs de 𝑥, puis la somme de toutes les valeurs de 𝑦. Si on prend toutes les valeurs de la ligne 𝑥 et qu’on les additionne, on obtient 637,60. Et en faisant la même chose pour 𝑦, en additionnant les huit taux de croissance économique, on obtient 17,6. Nous avons donc trouvé la valeur de la somme des 𝑥 et de la somme des 𝑦. Et nous devons maintenant essayer de déterminer quelle est la somme des 𝑥 au carré.

Nous devons pour cela d’abord élever chaque valeur de 𝑥 au carré, en commençant par la première valeur : 50,40 au carré égale 2 540,16. La deuxième valeur 55,30 au carré est égale à 3 058,09. Et on continue pour chaque valeur. Une fois que l’on a calculé les huit valeurs de 𝑥 au carré, on peut les additionner et on obtient 54 839,76. Et il nous reste à calculer la somme des 𝑥 𝑦. Cela signifie que pour chaque couple de données, nous devons multiplier 𝑥 par 𝑦.

En commençant par la première colonne, 50,40 fois moins un égale moins 50,40. On a ensuite 55,30 fois 0,5, ce qui donne 27,65. Et on effectue les mêmes calculs pour les huit couples. Une fois que l’on a les huit valeurs de 𝑥 𝑦, on les additionne et on obtient 1 772,77. Et nous avons ainsi trouvé notre dernière somme. Nous pouvons donc commencer à calculer 𝑎 et 𝑏. On remarque tout d’abord que 𝑁 est égal à huit car il y a huit observations. 𝑏 est donc égal à huit fois la somme des 𝑥 𝑦.

Et nous devons faire attention lorsque nous soustrayons la somme des 𝑥 fois la somme des 𝑦. Il faut remplacer la somme des 𝑥 par 637,60, et la multiplier par la somme des 𝑦, soit 17,6. Tout cela est alors divisé par huit fois la somme des 𝑥 au carré. Comme 𝑥 au carré est entre parenthèses, la somme des 𝑥 au carré représente la somme de toutes les valeurs de 𝑥 au carré, qui est ici égale à 54 839,76.

Et le dernier terme est la somme des 𝑥, le tout au carré, car la somme des 𝑥 est entre parenthèses et le carré est à l’extérieur, ce qui correspond donc à 637,60 au carré. Assurez vous d’entrer cette expression dans votre calculatrice très soigneusement, en mettant le numérateur et le dénominateur entre parenthèses pour obtenir un résultat précis. Vous pouvez également décider de calculer séparément le numérateur et le dénominateur, puis de les diviser.

En entrant cette expression correctement sur une calculatrice, on obtient une valeur de 𝑏 égale à 0,0919826. Et pour l’arrondir au millième, nous devons observer le quatrième chiffre après la virgule, qui est un neuf ; nous devons donc arrondir la valeur de 𝑏 par excès à 0,092. En passant maintenant à 𝑎, on prend la somme des 𝑦, 17,6, à laquelle on soustrait ce que nous avons trouvé pour 𝑏, soit 0,092, multiplié par la somme des 𝑥, qui est 637,6, et on divise par 𝑁, qui est ici égal à huit. Encore une fois, si vous décidez d’entrer cette expression dans votre calculatrice en une seule fois, vous devez mettre le numérateur et le dénominateur entre parenthèses, ou calculer d’abord le numérateur, puis le diviser par huit.

En faisant cela, on obtient moins 5,1324. Et en arrondissant au millième, on trouve que 𝑎 est égal à moins 5,132, ce qui signifie que 𝑦 chapeau est égal à moins 5,132 plus 0,092𝑥, que l’on peut également écrire 𝑦 chapeau égale 0,092𝑥 moins 5,132. Déterminer l’équation de la droite de régression des moindres carrés n’est pas si compliqué lorsque l’on suit cette méthode. Mais il fait être très précis à chaque étape. Vous devez vous assurer que toutes vos valeurs de 𝑥 au carré, de 𝑥 fois 𝑦 et toutes vos sommes sont exactes. Après cela, vous pouvez remplacer soigneusement toutes ces valeurs dans les formules de 𝑎 et 𝑏.

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