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Vidéo question :: Rechercher des expressions équivalentes en utilisant l’identité de cofonction pour le sinus et le cosinus Mathématiques • Première année secondaire

Parmi les choix suivants, lequel est égal à -sin 𝜃 ? [A] cos ((3𝜋 / 2) + 𝜃) [B] cos ((𝜋 / 2) + 𝜃) [C] sin ((3𝜋 / 2) + 𝜃) [D] sin ((𝜋 / 2) + 𝜃)

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Transcription de la vidéo

Parmi les choix suivants, lequel est égal à moins sinus 𝜃 ? On nous a donné quatre options. L’option (A), cosinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃. L’option (B), cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃. L’option (C), sinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃. L’option (D), sinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃.

Nous remarquons que toutes les mesures d’angles ont été données en radians. Si nous préférons travailler avec des degrés, nous pouvons utiliser le fait que 360 degrés est égal à deux 𝜋 radians afin de convertir nos radians en degrés. Pour cet exemple, il peut être utile de rappeler que trois 𝜋 sur deux radians est équivalent à 270 degrés et que 𝜋 sur deux radians est équivalent à 90 degrés.

Nous commençons par tracer une figure où l’angle 𝜃 est en position standard sur un ensemble d’axes, avec un cercle trigonométrique centré à l’origine. Ensuite, nous pouvons utiliser les coordonnées de l’intersection entre le côté terminal de l’angle et le cercle trigonométrique pour définir sinus 𝜃 et cosinus 𝜃, où cosinus 𝜃 est défini par la coordonnée 𝑥 et sinus 𝜃 est défini par la coordonnée 𝑦. En regardant cela plus en détail, nous pourrons définir le sinus et le cosinus de n’importe quel angle. L’utilisation d’une interprétation géométrique nous permet de découvrir les identités des fonctions trigonométriques. En fait, nous utiliserons notre connaissance des propriétés périodiques et des fonctions trigonométriques et de la congruence des triangles formés par les angles en position standard sur le cercle trigonométrique afin de construire quelques-unes des identités trigonométriques des angles connexes.

Nous allons maintenant travailler sur la localisation du côté terminal de l’angle 𝜋 sur deux plus 𝜃. Nous sommes particulièrement intéressés par le point de coordonnées où cet angle coupe le cercle unitaire parce que la coordonnée 𝑥 nous donnera un cosinus de cet angle et la coordonnée 𝑦 nous donnera un sinus de cet angle. Nous voyons que 𝜋 sur deux se termine sur le côté positif de l’axe des 𝑦. Nous rappelons que l’ajout d’une mesure d’angle nous fait tourner dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Par conséquent, nous localisons le côté terminal de l’angle 𝜋 sur deux plus 𝜃 dans le deuxième quadrant. Puisque la rotation d’une figure géométrique autour de l’origine préserve ses longueurs latérales et ses mesures d’angle, nous avons maintenant une paire de triangles rectangles congruents. Ces triangles congruents ont une hypoténuse verte en commun de longueur un et un côté orange plus court de longueur sinus 𝜃 et un côté rose plus long de longueur cosinus 𝜃.

Maintenant, dans le deuxième quadrant, toutes les coordonnées 𝑥 sont négatives et toutes les coordonnées 𝑦 sont positives. Par conséquent, nous attribuons une valeur négative à la longueur du côté orange et une valeur positive à la longueur du côté rose. Cela signifie que, en fonction de 𝜃, notre point se trouvent aux coordonnées moins sinus 𝜃, cosinus 𝜃. Maintenant, nous devons déterminer ce que sera ce point de coordonnées en fonction de 𝜋 sur deux plus 𝜃. Comme indiqué précédemment, la coordonnée 𝑥 est cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃 et la coordonnée 𝑦 est sinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃. Ces coordonnées sont bien sûr liées à l’option (B) et à l’option (D). Cependant, avant de tirer des conclusions définitives, examinons l’angle trois 𝜋 sur deux plus 𝜃.

Le point auquel l’angle trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 se termine et croise le cercle trigonométrique aura une coordonnée 𝑥 de cosinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 et une coordonnée 𝑦 de sinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃. Nous localisons d’abord trois 𝜋 sur deux sur le cercle trigonométrique, qui est aligné sur la partie négative de l’axe des 𝑦. Puis, nous effectuons une rotation dans le sens antihoraire de 𝜃 au-delà de l’angle trois 𝜋 sur deux. Cet angle se termine dans le quatrième quadrant et nous donne un troisième triangle rectangle qui est congruent aux deux premiers.

Ensuite, nous rappelons que toutes les coordonnées 𝑥 dans le quatrième quadrant sont positives et que toutes les coordonnées 𝑦 sont négatives. Par conséquent, le point se trouve aux coordonnées sinus 𝜃, moins cosinus 𝜃. N’oublions pas que la coordonnée 𝑥 est de cosinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 et que la coordonnée 𝑦 est de sinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃.

Maintenant que nous avons terminé notre raisonnement géométrique, nous avons trouvé une expression équivalente en fonction de 𝜃 pour chacune des quatre réponses possibles. Nous avons trouvé que cosinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à sinus de 𝜃 et que cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. Sinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃 et enfin, sinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à cosinus 𝜃. En conclusion, puisqu’une seule de ces options est égale à moins sinus de 𝜃, notre réponse finale est cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃.

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