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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble image d’une fonction trigonométrique Mathématiques

Déterminez l'ensemble image de la fonction définie par 𝑓(𝜃) = 8 sin 7𝜃.

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Transcription de vidéo

Déterminez l'ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝜃 égale huit sinus de sept 𝜃.

Notre fonction est huit sinus de sept 𝜃. Donc pour répondre à cette question, nous allons commencer par rappeler ce que nous savons sur la fonction 𝑓 de 𝜃 égale sinus 𝜃. Nous verrons ensuite les transformations qui produisent huit sinus de sept 𝜃.

La courbe représentative de 𝑓 de 𝜃 égale sinus 𝜃 est périodique. Elle se répète tous les 360 degrés. Elle a un maximum de un et un minimum de moins un. Rappelons à présent comment transformer des fonctions. Pour 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑎 fois 𝑥 est une dilatation horizontale par un facteur d’échelle de un sur 𝑎. Et 𝑦 égale 𝑏 fois 𝑓 de 𝑥 est une dilatation verticale. Cette fois, par un facteur d’échelle de 𝑏.

Eh bien, notre fonction est huit sinus de sept 𝜃. Donc, 𝑎 est égal à sept et 𝑏 est égal à huit. On dilate verticalement la fonction par un facteur d’échelle de huit et horizontalement par un facteur d’échelle de un sur sept. Cela n’est pas vraiment à l’échelle, mais la courbe transformée ressemble donc à peu près à la courbe rose.

Et nous recherchons l’ensemble image de cette fonction. L’ensemble de définition correspond aux valeurs de la variable et l’ensemble image correspond aux images obtenues en entrant ces valeurs de l’ensemble de définition dans la fonction. Quelles sont donc les images de notre fonction ? Eh bien, on peut voir que la valeur maximale des images est huit et que leur valeur minimale est moins huit. Cela signifie que huit sinus de sept 𝜃 produit des valeurs dans l’intervalle fermé de moins huit à huit. Et il s’agit de l’ensemble image de notre fonction. C’est l’intervalle fermé de moins huit à huit.

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