Vidéo question :: RQ620190869089 v2 Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez l’intégrale indéfinie de deux 𝑥 au carré multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥.

Dans cette question, nous devons trouver l’intégrale d’un produit de fonctions. De ce fait, nous utiliserons l’intégration par parties. Cela dit que pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, l’intégrale de 𝑢 multipliée par d𝑣 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Ceci s’écrit également comme l’intégrale de 𝑢𝑣 prime est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣𝑢 prime. Nous commençons cette démarche en choisissant les fonctions 𝑢 et d𝑣 sur d𝑥.

La règle LIATE nous dit de choisir 𝑢 pour être la fonction qui apparaît en premier dans la liste : fonctions logarithmiques, fonctions trigonométriques inverses, fonctions algébriques, fonctions trigonométriques, fonctions exponentielles. Notre terme à intégrer est le produit d’une fonction polynôme ou algébrique et d’une fonction exponentielle. Puisque A apparaît avant E, nous choisissons la fonction algébrique deux 𝑥 au carré pour être 𝑢. Par conséquent, nous définissons d𝑣 sur d𝑥 égal à 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux. Ensuite, nous trouvons d𝑢 sur d𝑥 en dérivant 𝑢, et 𝑣 en intégrant d𝑣 sur d𝑥. En utilisant la règle de dérivation d’une puissance, nous pouvons calculer la dérivée de deux 𝑥 au carré, soit quatre 𝑥.

Ensuite, rappelons la règle générale pour l’intégration de fonctions exponentielles, où l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑥. Et rappelant également les lois des exposants, nous voyons que l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux est égale à 𝑒 au carré multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥, qui peut être réécrit comme 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux, et c’est notre valeur de 𝑣. Nous sommes maintenant en mesure de substituer nos expressions dans la formule d’intégration par parties.

L’intégrale de deux 𝑥 au carré multipliée par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥 est égale à deux 𝑥 au carré multipliée par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux moins l’intégrale de quatre 𝑥 multipliée par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥. Puisque le nouvel terme à intégrer est toujours le produit de fonctions, nous devons répéter le processus et utiliser l’intégration par parties à nouveau. Cette fois, 𝑢 est égal à quatre 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux.

En dérivant quatre 𝑥, nous avons d𝑢 sur d𝑥 est égal à quatre. Et en intégrant 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux, nous avons 𝑣 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux. En substituant à ces valeurs, nous avons deux 𝑥 au carré multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux moins quatre 𝑥 multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux moins l’intégrale de quatre 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥. Cela peut être simplifié comme indiqué.

Ensuite, nous devons intégrer quatre 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥. Nous avons maintenant deux 𝑥 au carré multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux moins quatre 𝑥 multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux plus quatre multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux. Ensuite, nous allons factoriser le facteur commun de 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux. Et nous allons également factoriser la constante quatre, ce qui nous donne quatre multiplié par un demi 𝑥 au carré moins 𝑥 plus un multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux.

Rappelant que nous devons ajouter notre constante d’intégration 𝐶, nous avons la réponse finale à l’intégrale de deux 𝑥 au carré multipliée par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥. C’est quatre multiplié par un demi 𝑥 au carré moins 𝑥 plus un multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux plus 𝐶.