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Vidéo de la leçon: Angles entre des droites sécantes dans un cercle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les mesures d’angles résultant de l’intersection de deux cordes, deux sécantes, deux tangentes, ou une tangente et une sécante dans un cercle.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les mesures d’angles entre des droites dans un cercle. Pour cela, nous allons commencer par rappeler certains termes clés à connaître lorsque l’on travaille avec des cercles, nous étudierons ensuite trois théorèmes, puis nous utiliserons ces connaissances pour résoudre quelques problèmes.

Dans un cercle, une corde est un segment dont les deux extrémités se situent sur le cercle. Une sécante est une droite qui coupe le cercle en deux points distincts. Un diamètre est un segment dont les deux extrémités se trouvent sur le cercle et dont le milieu est le centre du cercle. Le diamètre est la corde la plus longue d’un cercle. Un rayon est ensuite un segment reliant le centre du cercle à un point du cercle. Enfin, ne tangente est une droite qui coupe le cercle en un seul point, et la tangente forme un angle droit avec le rayon issu de ce point. Maintenant que nous avons rappelé les droites et les segments dans un cercle, penchons-nous sur les angles et les arcs.

Pour deux rayons d’un cercle, l’angle formé entre ces deux rayons s’appelle un angle au centre. La partie du cercle délimitée par cet angle au centre est appelée un arc. Un arc de cercle est donc une partie d’un cercle. Lorsque l’on parle ensuite de la mesure de l’arc, on fait référence à la mesure de l’angle au centre qui intercepte cet arc. Par exemple, si l’angle au centre, illustré ici, est de 120 degrés, alors on dit que la mesure de l’arc est de 120 degrés. On peut également dire que l’arc en jaune mesure 120 degrés. Cela revient à dire que l’arc mesure 120 degrés sur les 360 degrés du cercle entier. Et bien que nous allons principalement étudier des exemples en degrés dans cette vidéo, toutes ces définitions sont également applicables pour des mesures en radians.

Passons maintenant à quelques théorèmes, en commençant par le théorème des angles entre deux cordes. À l’intérieur du cercle, le segment, ou la corde, 𝐵𝐷 coupe la corde 𝐴𝐶 en ce point. Cette intersection crée quatre angles, appelés ici un, deux, trois et quatre. Puisque les deux cordes 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 se coupent à l’intérieur du cercle, la mesure de l’angle un est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 plus la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Et de même, la mesure de l’angle deux est égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐵𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐴𝐷. Puisque des angles opposés par le sommet sont égaux, on peut également dire que la mesure de l’angle un est égale à la mesure de l’angle trois et que la mesure de l’angle deux est égale à la mesure de l’angle quatre.

Maintenant que nous avons vu les formules des angles entre deux cordes. Nous pouvons considérer les angles entre deux sécantes. Lorsque deux sécantes se coupent en dehors du cercle, l’intersection est alors ici et elles forment cet angle. Leur intersection crée également deux arcs interceptés. Le premier est indiqué en vert et le second en bleu. Si on appelle l’angle formé par les deux sécantes l’angle un et que l’on appelle le premier arc intercepté 𝑥 et le second arc intercepté 𝑦, alors la mesure de l’angle un est égale à la mesure de l’arc 𝑥 moins la mesure de l’arc 𝑦 divisé par deux.

Cela revient à dire que si deux droites se coupent en dehors du cercle, alors la mesure de l’angle entre ces droites est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés. Dans ce cas, il s’agit de deux sécantes qui se coupent en dehors du cercle. Mais cela est également vrai lorsque deux tangentes se coupent en dehors du cercle. Voyons donc à quoi cela ressembleraient.

On étudie alors ces deux tangentes. Elles forment cet angle que l’on peut appeler l’angle un et créent l’arc intercepté un et l’arc intercepté deux. Si on désigne l’arc le plus grand par 𝑥 et le plus petit par 𝑦, alors la mesure de l’angle un est égale à la mesure de l’arc 𝑥 moins la mesure de l’arc 𝑦 divisé par deux. Essayons donc à présent de résoudre quelques problèmes à l’aide de ces théorèmes.

Trouvez la valeur de 𝑥.

Sur cette figure, le segment 𝐶𝐸 et le segment 𝐴𝐸 se coupent au point 𝐸. L’angle créé à leur intersection est celui désigné par 𝑥. Et comme ces segments coupent également le cercle, ils créent deux arcs interceptés. En représentant le centre du cercle, on peut montrer l’arc 𝐷𝐵 qui mesure 71 degrés et l’arc 𝐶𝐴 qui mesure 144 degrés.

Puisque le segment 𝐶𝐸 et le segment 𝐴𝐸 peuvent tous deux être décrits comme sécants au cercle, on peut utiliser le théorèmes de l’angle entre deux sécantes. Il stipule que l’angle formé par l’intersection de deux sécantes, dans ce cas, la mesure de l’angle 𝐶𝐸𝐴, est égale à la moitié de la différence positive des mesures des deux arcs interceptés. On peut donc dire que 𝑥 est égal à 144 moins 71 divisé par deux. Par conséquent, 𝑥 est égal à 36,5 degrés.

Voici un autre exemple. Cette fois, au lieu de l’intersection de deux sécantes en dehors du cercle, nous avons l’intersection d’une sécante et d’une tangente en dehors du cercle.

Sachant que 𝑦 est égal à 𝑥 moins deux et 𝑧 est égal à deux 𝑥 plus deux sur cette figure, déterminez la valeur de 𝑥.

Commençons par ce que nous savons. Le segment 𝐷𝐴 et le segment 𝐵𝐴 se coupent en dehors du cercle au point 𝐴. On peut donc dire que la mesure de l’angle formé par les deux segments est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés. Dans ce cas, on sait déjà que la mesure de l’angle formé par ces deux segments est de 50 degrés, et ces 50 degrés sont égaux à 𝑧 degrés moins 𝑦 degrés sur deux. On peut alors substituer deux 𝑥 plus deux à 𝑧 et 𝑥 moins deux à 𝑦.

En utilisant cette équation, nous pourrons trouver la valeur de 𝑥. En distribuant le signe négatif à 𝑥 et à moins deux, on obtient 50 égale deux 𝑥 plus deux moins 𝑥 plus deux divisé par deux. En regroupant les termes semblables, deux 𝑥 moins 𝑥 est égal à plus 𝑥 et deux plus deux est égal à quatre. On a donc 50 égale 𝑥 plus quatre sur deux. On peut alors annuler le deux du dénominateur en multipliant les deux membres par deux. Cela donne 100 égale 𝑥 plus quatre. Et si on soustrait quatre aux deux membres, on trouve que 𝑥 est égal à 96.

Nous savons que 𝑦 est égal à 𝑥 moins deux. Donc, 𝑦 est égal à 94 degrés. Et 𝑧 est égal à deux 𝑥 plus deux. Si on multiplie 96 par deux puis que l’on ajoute deux, on obtient 194. Donc 𝑧 est égal à 194 degrés. Pour vérifier cette réponse, on peut remplacer 𝑧 et 𝑦 par ces valeurs dans l’équation d’origine, qui est 50 degrés égale 𝑧 degrés moins 𝑦 degrés sur deux. Cela fait 194 moins 94 divisé par deux. 194 moins 94 égale 100 et 100 divisé par deux égale 50. Nous pouvons donc conclure que 𝑥 doit être égal à 96 pour cette figure.

Étudions à présent un autre exemple.

Calculez la mesure de l’arc 𝐶𝐵.

Voyons tout d’abord ce que nous savons. Nous savons que le segment 𝐶𝐴 et le segment 𝐸𝐴 se coupent en dehors du cercle au point 𝐴. 𝐶𝐴 et 𝐸𝐴 sont tous les deux des segments sécants au cercle. La figure nous indique également que la mesure de l’arc 𝐶𝐵 est égale à la mesure de l’arc 𝐸𝐷. On peut de plus rappeler que la somme de toutes les mesures des arcs du cercle doit être égale à 360 degrés. Et nous recherchons ici la mesure de l’arc 𝐶𝐵. Mais nous devons pour cela d’abord trouver la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Puisque les deux droites se coupent en dehors du cercle, on rappelle le théorème de l’angle entre deux sécantes, qui stipule que l’angle formé par deux droites qui se coupent en dehors du cercle est égal à la moitié de la différence positive des arcs interceptés. L’angle formé par ces sécantes est de 34 degrés dans ce cas. 34 degrés est donc égal à la mesure de l’arc intercepté 𝐶𝐸, qui est de 151 degrés, moins la mesure de l’arc intercepté 𝐵𝐷, divisé par deux.

Et nous souhaitons calculer la mesure de l’arc 𝐵𝐷. On multiplie donc les deux membres de l’équation par deux, ce qui nous donne 68 égale 151 moins la mesure de l’arc 𝐵𝐷. On soustrait ensuite 151 aux deux membres et on trouve que moins 83 degrés égale moins la mesure de l’arc 𝐵𝐷. On multiplie enfin les deux membres de l’équation par moins un et on échange les côtés, et on obtient que la mesure de l’arc 𝐵𝐷 égale à 83 degrés. Mais ce n’est pas notre réponse finale. Nous essayons toujours de trouver la mesure de l’arc 𝐶𝐵.

Rappelez-vous alors que nous avons dit que la somme des mesures de tous ces arcs doit être égale à 360 degrés. Et nous savons que l’arc 𝐶𝐵 et l’arc 𝐸𝐷 sont de même mesure. On désigne alors leur mesure par 𝑥 degrés. Cela nous permet de créer l’équation 151 plus 𝑥 plus 𝑥 plus 83 égale 360. En regroupant les termes semblables, 151 plus 83 égale 234. Et 𝑥 plus 𝑥 égale deux 𝑥. Par conséquent, 234 plus deux 𝑥 égale 360 degrés. On soustrait ensuite 234 aux deux membres de l’équation, ce qui nous donne deux 𝑥 égale 126. On divise les deux membres par deux, et on trouve que 𝑥 est égal à 63. On en déduit que l’arc 𝐶𝐵 et l’arc 𝐸𝐷 mesurent 63 degrés. La question demandait la mesure de l’arc 𝐶𝐵, et nous avons trouvé que cette mesure est de 63 degrés.

Dans le prochain exemple, nous allons étudier deux cordes qui se coupent à l’intérieur d’un cercle.

Pour la figure ci-dessous, calculez la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Voyons tout d’abord ce que nous savons. En observant la figure, on peut voir que le segment 𝐵𝐴 et le segment 𝐶𝐷 sont des cordes qui se coupent à l’intérieur d’un cercle, ce qui signifie que nous pouvons penser théorème des angles entre des cordes. Il stipule que la mesure de l’angle un est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝑃𝑆 plus la mesure de l’arc 𝑄𝑅. Sur cette figure, nous nous intéressons à la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

D’après le théorème que nous venons de citer, on peut donc dire que 112 degrés est égal à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Et en multipliant les deux membres de cette équation par deux, on a 224 degrés égale la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Nous pouvons donc conclure que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷 est égal à 224 degrés.

Pour le prochain exemple, aucune figure ne sera fournie Nous devrons donc en dessiner une par nous-mêmes.

Le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle de centre 𝑀. Le segment entre 𝐴 et 𝐶 coupe le cercle en 𝐵 et 𝐶, et le segment entre 𝐴 et 𝐸 rencontre le cercle aux points 𝐷 et 𝐸. Sachant que la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐸 est égale à 130 degrés et que la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷 est égale à 56 degrés, calculez la mesure de l’angle 𝐴.

Nous avons ici une description d’un cercle et de segments, mais aucune figure n’est fournie. La meilleure chose à faire est donc de commencer par en dessiner une. Nous savons que nous avons un cercle et que le point 𝐴 est en dehors du cercle. Nous savons également qu’il existe un segment entre 𝐴 et 𝐶, c’est-à-dire un segment d’extrémités 𝐴 et 𝐶. Et ce segment coupe le cercle en 𝐵 et 𝐶. Si on trace un segment allant de 𝐴 au cercle, on sait que les extrémités de ce segment sont 𝐴 et 𝐶, et que l’autre intersection avec le cercle est le point 𝐵.

De même, nous savons qu’il y a un segment entre 𝐴 et 𝐸 qui rencontre le cercle en 𝐷 et 𝐸. On trace donc un autre segment issu du point 𝐴. Son extrémité est 𝐸 et son autre point d’intersection avec le cercle est 𝐷. Le cercle a pour centre 𝑀. On nous a dit que la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐸, c’est-à-dire cet angle, est de 130 degrés. Nous savons également que la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷, cet angle, est de 56 degrés. Et nous recherchons la mesure de l’angle 𝐴.

Bien sûr, nous savons que cette figure n’est pas une représentation exacte du problème. Mais elle nous donne suffisamment d’informations pour comprendre comment nous pouvons essayer de calculer la mesure de l’angle 𝐴. Puisque nous avons deux droites qui se coupent en dehors d’un cercle, l’angle entre elles est égal à la moitié de la différence positive entre les mesures des arcs interceptés.

Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐴 est l’angle formé à l’extérieur du cercle. Sa mesure est donc égale la moitié de la mesure de l’arc 𝐶𝐸 moins la mesure de l’arc 𝐷𝐵. L’arc 𝐶𝐸 mesure 130 degrés et l’arc 𝐵𝐷 mesure 56 degrés. 130 moins 56 égale 74, 74 divisé par deux égale 37. Par conséquent, l’angle 𝐴 mesure 37 degrés.

Terminons à présent par passer en revue les points clés de cette vidéo. Le théorème de l’angles entre des sécantes stipule que la mesure de l’angle formé par deux sécantes se coupant en dehors d’un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés. Cela est vrai lorsque deux sécantes, deux tangentes ou une sécante et une tangente se coupent à l’extérieur d’un cercle. Nous avons également vu le théorème des angles entre des cordes, qui stipule que la mesure de l’angle un est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 plus la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Et par extension, la mesure de l’angle deux est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐵𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐴𝐷.

Et d’après les propriétés des angles opposés par le sommet, nous savons que lorsque les cordes se coupent, la mesure de l’angle un est égale à la mesure de l’angle trois, et la mesure de l’angle deux est égale à la mesure de l’angle quatre.

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