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Vidéo de la leçon : Angles de droites sécantes dans un cercle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver les mesures d’angles résultant de l’intersection de deux cordes, deux sécantes ou tangentes et sécantes dans un cercle.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à calculer les mesures d’angle créées par l’intersection de droites dans un cercle. Pour ce faire, nous passerons en revue certains termes clés que nous devons connaître lorsque nous travaillons avec des cercles, considérons trois théorèmes de cercle différents, puis utilisons ces informations pour résoudre quelques exemples.

Si nous avons un cercle, une corde est un segment où les deux extrémités se trouvent sur le cercle. Une sécante est une droite qui coupe le cercle en deux points distincts. Le diamètre est un segment, où les deux extrémités se trouvent sur le cercle et le milieu est le centre du cercle. Le diamètre est la corde le plus long de tout cercle. Le rayon est un segment reliant le centre du cercle à un point du cercle. Une tangente est une droite qui coupe le cercle en un seul point, et la tangente fait un angle droit avec le rayon à ce point. Maintenant que nous avons examiné les droites et les segments de droite dans un cercle, considérons les angles et les arcs.

Si vous avez deux rayons, l’angle créé entre les deux s’appelle un angle au centre. La partie de la circonférence créée par cet angle au centre est connue sous le nom d’arc. Un arc de cercle est une partie de la circonférence. Lorsque nous parlons de la mesure de l’arc, nous disons la mesure du degré d’un arc, et elle est égale à la mesure de l’angle au centre qui intercepte l’arc. Par exemple, si notre angle au centre, illustré ici, est de 120 degrés, alors nous dirions que la mesure de l’arc est de 120 degrés. On peut aussi dire que l’arc surligné en jaune mesure 120 degrés. Lorsque nous faisons cela, nous disons que l’arc est à 120 degrés sur les 360 degrés complets du cercle entier. Et bien que nous nous concentrions principalement sur les degrés dans cette vidéo, toutes ces informations sont également vraies si vous travaillez en radians.

Examinons maintenant certains des théorèmes, en commençant par les angles des théorèmes des cordes sécantes. À l’intérieur du cercle, le segment 𝐵𝐷 ou la corde 𝐵𝐷 coupe la corde 𝐴𝐶 à ce point. Cette intersection crée quatre angles différents, appelés ici un, deux, trois et quatre. Puisque dans ce cercle, les deux cordes 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 se croisent à l’intérieur du cercle, la mesure de l’angle un est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 plus la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Et de même, la mesure de l’angle deux, une fois et demie la mesure de l’arc 𝐵𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐴𝐷. Une autre chose que nous pouvons dire puisque les angles verticaux sont superposables est que la mesure de l’angle un est égale à la mesure de l’angle trois et la mesure de l’angle deux est égale à la mesure de l’angle quatre.

Nous venons de regarder les angles qui sont créés lorsque les cordes se croisent. Voyons maintenant quels angles sont créés lorsque les sécantes se croisent. Lorsque deux sécantes se croisent à l’extérieur du cercle, dans ce cas, l’intersection est ici, elles créent cet angle. En plus de cela, il crée deux arcs interceptés. Ici, nous avons le premier en vert et le second en bleu. Si nous appelons l’angle créé par les deux sécantes angle un, et nous appellerons l’arc intercepté un 𝑥 et l’arc intercepté deux 𝑦, alors la mesure de l’angle un sera égale à la mesure de l’arc 𝑥 moins la mesure de l’arc 𝑦 divisé par deux.

Si nous écrivons cela, nous disons que si deux droites se coupent en dehors du cercle, alors la mesure d’un angle formé par les deux droites est la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés. Dans ce cas, nous avons affaire à deux sécantes qui se croisent à l’extérieur du cercle. Mais cela est également vrai lorsque deux tangentes se croisent à l’extérieur du cercle. Voyons à quoi ressembleraient deux tangentes qui se croisent.

Maintenant, nous avons deux tangentes qui se croisent. Ils forment cet angle que nous pouvons appeler l’angle un, ce qui crée l’arc intercepté un et l’arc intercepté deux. Si nous posons l’arc le plus grand 𝑥 et le plus petit 𝑦, nous trouverions la mesure de l’angle un en soustrayant la mesure de l’arc 𝑥 moins la mesure de l’arc 𝑦 puis en divisant par deux. En utilisant ces informations, essayons de résoudre certaines valeurs manquantes.

Trouvez la valeur de 𝑥.

Dans la figure donnée, le segment 𝐶𝐸 et le segment 𝐴𝐸 se coupent au point 𝐸. L’angle créé à leur intersection est celui nommé 𝑥. Et comme ces droites ont intersecté le cercle, elles ont créé deux arcs interceptés. Si nous esquissons le centre du cercle, nous pouvons montrer que l’arc 𝐷𝐵 mesure 71 degrés et que l’arc 𝐶𝐴 mesure 144 degrés.

Puisque le segment 𝐶𝐸 et le segment 𝐴𝐸 peuvent tous deux être décrits comme des sécantes du cercle, nous pouvons utiliser les angles du théorème des sécantes qui se croisent. Ce qui nous indique l’angle créé par l’intersection de deux sécantes, dans ce cas, la mesure de l’angle 𝐶𝐸𝐴, sera égale à la moitié de la différence des deux arcs interceptés. Et cela signifie que nous pouvons dire que 𝑥 est égal à 144 moins 71 divisé par deux. 𝑥 est égal à 36.5 degrés.

Voici un autre exemple. Cette fois, au lieu de l’intersection de deux sécantes à l’extérieur du cercle, nous avons l’intersection d’une sécante et d’une tangente à l’extérieur du cercle.

Étant donné que, dans la figure illustrée, 𝑦 est égal à 𝑥 moins deux et 𝑧 est égal à deux 𝑥 plus deux, déterminez la valeur de 𝑥.

Commençons par ce que nous savons. Le segment 𝐷𝐴 et le segment 𝐵𝐴 se coupent à l’extérieur du cercle au point 𝐴. Parce que c’est vrai, nous pouvons dire que la mesure de l’angle formé par les deux droites est la moitié de la différence positive des mesures de l’arc intercepté. Dans ce cas, on sait déjà que la mesure de l’angle formé par ces deux droites est de 50 degrés, mais que 50 degrés est égal à 𝑧 degrés moins 𝑦 degrés sur deux. Ensuite, ce que nous pouvons faire, c’est substituer deux 𝑥 plus deux pour 𝑧 et 𝑥 moins deux pour 𝑦.

En utilisant cette équation, nous pourrons trouver la valeur de 𝑥. Si nous distribuons le moins un à 𝑥 et moins deux, nous aurons 50 égal à deux 𝑥 plus deux moins 𝑥 plus deux divisé par deux. Si nous combinons des termes semblables, deux 𝑥 moins 𝑥 est égal à plus 𝑥 et deux plus deux égalent quatre. Et donc, nous pouvons dire que 50 est égal à 𝑥 plus quatre sur deux. De là, nous pouvons extraire les deux du dénominateur en multipliant les deux côtés par deux. Nous aurons 100 égal à 𝑥 plus quatre. Et si 100 est égal à 𝑥 plus quatre et que nous soustrayons quatre des deux côtés, nous voyons que 𝑥 est égal à 96.

Nous savons que 𝑦 était égal à 𝑥 moins deux. Et donc, 𝑦 serait de 94 degrés. 𝑧 était égal à deux 𝑥 plus deux. Si nous multiplions 96 par deux puis ajoutons deux, nous obtenons 194. 𝑧 était alors égal à 194 degrés. Si nous voulions vérifier, nous pouvons remplacer ces valeurs pour 𝑧 et 𝑦 dans l’équation originale que nous avons écrite, qui dit que 50 degrés est égal à 𝑧 degrés moins 𝑦 degrés sur deux. 194 moins 94 divisé par deux. 194 moins 94 est 100 et 100 divisé par deux est 50. Et donc, nous pouvons dire que, dans la figure donnée, 𝑥 doit être égal à 96.

Voici un autre exemple.

Déterminez la mesure de l’arc 𝐶𝐵.

Voyons d’abord ce que nous savons. Nous savons que le segment 𝐶𝐴 et le segment 𝐸𝐴 se coupent à l’extérieur du cercle au point 𝐴. Le segment 𝐶𝐴 et le segment 𝐸𝐴 sont tous deux sécants dans le cercle. La figure nous a également indiqué que la mesure de l’arc 𝐶𝐵 est égale à la mesure de l’arc 𝐸𝐷. Nous pouvons également dire que la somme de toutes les mesures d’arc dans le cercle doit être de 360 degrés. Nous voulons trouver la mesure de l’arc 𝐶𝐵. Mais pour ce faire, nous devrons trouver la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Sur la base de ce que nous avons dit initialement à propos de l’intersection en dehors du cercle, nous pouvons dire que l’angle fait par deux droites qui se coupent en dehors du cercle est la moitié de la différence positive des arcs interceptés, qui est le théorème des angles sécants qui se croisent. L’angle créé par ces droites d’intersection dans notre cas est de 34 degrés. 34 degrés est égal à la mesure de l’arc intercepté 𝐶𝐸, qui est de 151 degrés, moins la mesure de l’arc intercepté 𝐵𝐷, puis divisé par deux.

Nous devons résoudre la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Donc, nous multiplions les deux côtés de l’équation par deux, ce qui nous donne 68 égal à 151 moins la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Donc, nous soustrayons 151 des deux côtés, et nous obtenons moins un de 83 degrés égal à la mesure négative de l’arc 𝐵𝐷. Nous multiplions les deux côtés de l’équation par moins un et inversons les côtés, et nous obtenons la mesure de l’arc 𝐵𝐷 égale à plus 83 degrés. Mais ce n’est pas notre réponse finale. Nous essayons toujours de trouver la mesure de l’arc 𝐶𝐵.

Mais rappelez-vous, nous savons que tous ces arcs doivent totaliser à 360 degrés. Et nous savons que l’arc 𝐶𝐵 et l’arc 𝐸𝐷 doivent être égaux. On pourrait dire qu’ils sont égaux à 𝑥 degrés. Si nous le faisons, nous pourrions alors créer l’équation 151 plus 𝑥 plus 𝑥 plus 83 est égal à 360. Si nous combinons des termes semblables, 151 plus 83 est égal à 234. 𝑥 plus 𝑥 est égal à deux 𝑥. Par conséquent, 234 plus deux 𝑥 est égal à 360 degrés. Nous soustrayons 234 des deux côtés de l’équation, ce qui nous donne deux 𝑥 est égal à 126. Divisez les deux côtés par deux, et nous voyons que 𝑥 est égal à 63. Cela nous indique que l’arc 𝐶𝐵 et l’arc 𝐸𝐷 est égal à une mesure de 63 degrés. Nous étions principalement intéressés par la mesure de l’arc 𝐶𝐵, et nous avons constaté que cette mesure était de 63 degrés.

Dans notre exemple suivant, nous avons deux cordes qui se croisent à l’intérieur d’un cercle.

Dans la figure donnée, trouvez la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Voyons ce que nous savons. En regardant la figure, nous pouvons voir que le segment 𝐵𝐴 et le segment 𝐶𝐷 sont des cordes qui se coupent à l’intérieur d’un cercle, ce qui signifie que nous pouvons penser aux angles du théorème des cordes qui se croisent. Ce qui nous indique que la mesure de l’angle un est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝑃𝑆 plus la mesure de l’arc 𝑄𝑅. Dans notre figure, nous nous intéressons à la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Sur la base de ce que nous savons des cordes sécantes dans un cercle, nous pouvons dire que 112 degrés est égal à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Et si nous multiplions les deux côtés de cette équation par deux, nous aurions 224 degrés est égal à la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Et c’est ce que nous recherchons, la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷, qui est de 224 degrés.

Dans cet exemple, nous n’avons pas reçu d’image. Et donc, nous devrons en dessiner un par nous-mêmes.

Le point 𝐴 est en dehors d’un cercle de centre 𝑀. La droite entre 𝐴 et 𝐶 coupe le cercle en 𝐵 et 𝐶, et la droite entre 𝐴 et 𝐸 rencontre le cercle aux points 𝐷 et 𝐸. Étant donné que la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐸 est égale à 130 degrés et que la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷 est égale à 56 degrés, trouvez la mesure de l’angle 𝐴.

On nous a donné une description de notre cercle et de nos droites, mais on ne nous a pas donné d’image. Le meilleur endroit pour commencer ici est l’esquisse. Nous savons que nous avons un cercle et que le point 𝐴 est en dehors du cercle. Nous savons également qu’il existe une droite entre 𝐴 et 𝐶 ; il y a une droite avec les points d’extrémité 𝐴 et 𝐶. Et cette droite coupe le cercle en 𝐵 et 𝐶. Si nous dessinons une droite de 𝐴 au cercle, nous savons que les extrémités de cette droite étaient 𝐴 et 𝐶, et l’autre intersection le long du cercle était le point 𝐵.

De même, nous avons une droite entre 𝐴 et 𝐸 qui rencontre le cercle en 𝐷 et 𝐸. Nous allons tracer une autre droite à partir du point 𝐴. Le point final est 𝐸 et son autre point d’intersection est 𝐷. Le cercle a un centre 𝑀. On nous a dit que la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐸, qui serait cet angle, est de 130 degrés. Et on nous a dit la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷, qui serait cet angle, et qui mesure 56 degrés. Et nous voulons connaître la mesure de l’angle 𝐴.

Maintenant, bien sûr, lorsque nous regardons notre croquis, nous savons que ces angles sont un peu décalés. Mais ce croquis nous donne suffisamment d’informations pour comprendre comment nous allons essayer de résoudre la mesure de l’angle 𝐴. Parce que nous avons deux droites se coupant à l’extérieur d’un cercle, l’angle créé par les deux droites se coupant à l’extérieur du cercle est la moitié de la différence positive entre les arcs interceptés.

Et cela signifie que la mesure de l’angle 𝐴 est l’angle créé à l’extérieur du cercle. Ça va être la moitié de la mesure de l’arc 𝐶𝐸 moins la mesure de l’arc 𝐷𝐵. L’arc 𝐶𝐸 mesure 130 degrés ; l’arc 𝐵𝐷 mesure 56 degrés. 130 moins 56 égale 74, et la moitié de 74 est 37. Et donc, un cercle dans ces conditions aura la mesure d’angle 𝐴 égale à 37 degrés.

Et maintenant, nous pouvons passer en revue les points clés. Le théorème de l’angle sécant intersecté nous indique que l’angle formé par deux sécantes se coupant à l’extérieur d’un cercle est la moitié de la différence positive entre les mesures d’arc intercepté. Cela est vrai pour deux sécantes, deux tangentes et lorsqu’une sécante et une tangente se croisent à l’extérieur d’un cercle. Et puis, nous avons notre théorème des cordes sécantes, qui nous dit que la mesure de l’angle un est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐵 plus la mesure de l’arc 𝐶𝐷. Et par extension, la mesure de l’angle deux est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐵𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐴𝐷.

Et parce que nous connaissons les définitions des angles verticaux, nous savons que lorsque les cordes se croisent, la mesure de l’angle un est égale à la mesure de l’angle trois, et la mesure de l’angle deux est égale à la mesure de l’angle quatre.

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