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Vidéo de question : Déterminer le coefficient d’un terme dans le développement d’un binôme de Newton Mathématiques

Déterminez le coefficient du terme 𝑎₅ dans le développement de (9𝑥 + 2) ⁶.

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Transcription de vidéo

Déterminez le coefficient du terme 𝑎 indice cinq dans le développement de neuf 𝑥 plus deux à la puissance six.

Donc ce que 𝑎 indice cinq nous indique, c’est que nous recherchons le cinquième terme de notre développement. Et ce que nous allons utiliser pour nous aider à résoudre ce problème est la formule du binôme de Newton. La formule du binôme de Newton nous donne la forme générale du développement d’un binôme. Et elle énonce que si nous souhaitons développer 𝑎 plus 𝑏 le tout à la puissance 𝑛 – le développement aura cette forme. Ainsi, il sera égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 plus un parmi 𝑛 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un fois 𝑏 plus deux parmi 𝑛 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins deux fois 𝑏 au carré. Et ce jusqu’à 𝑛 moins un parmi 𝑛 multiplié par 𝑎 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑛 moins un plus 𝑏 à la puissance 𝑛. Nous pouvons donc remarquer que les puissances ou exposants de 𝑎 diminuent à chaque fois. Et les puissances ou les exposants de 𝑏 augmentent.

Donc, si nous regardons l’exemple de notre question, nous avons neuf 𝑥 plus deux le tout à la puissance six. Alors notre 𝑎 est égal à neuf 𝑥, notre 𝑏 est égal à plus deux et notre 𝑛 est égal à six. Nous pouvons donc les remplacer par leurs expressions dans la formule du binôme de Newton pour nous aider à déterminer le coefficient de 𝑎 indice cinq ou le cinquième terme. Maintenant, nous n’avons pas nécessairement besoin de déterminer chaque terme mais seulement le cinquième. Mais nous allons tout de même le faire de sorte à voir comment se passent les calculs.

Donc, tout d’abord, nous avons notre 𝑎 qui est égal à neuf 𝑥. Ainsi il sera élevé à la puissance six. Et puis, nous avons un parmi six multiplié par neuf 𝑥 à la puissance cinq. Et ceci est dû au fait que nous avons réduit l’exposant de un, et nous multiplions ensuite par deux qui est la valeur de notre 𝑏. Ensuite, nous avons deux parmi six multiplié par neuf 𝑥 à la puissance quatre multiplié par deux au carré. Donc, encore une fois, nous avons réduit l’exposant de notre neuf 𝑥 et augmenté celui de notre 𝑏 soit deux. C’était donc notre troisième terme. Il nous reste deux autres termes avant d’atteindre celui que nous souhaitons déterminer.

Ainsi, le quatrième terme va être égal à trois parmi six fois neuf 𝑥 au cube multiplié par deux au cube. Très bien, nous avons maintenant atteint le cinquième terme. Et c’est le terme que nous recherchons. Nous pouvons donc utiliser ceci pour déterminer le coefficient tout en terminant rapidement le développement. Ainsi, nous avons cinq parmi six multiplié par neuf 𝑥 multiplié par deux à la puissance cinq. Et pour terminer, nous avons deux à la puissance six soit notre 𝑏 à la puissance de notre 𝑛, qui est égal à six.

Très bien, ainsi nous avons obtenu ceci. Maintenant, déterminons la valeur du coefficient de notre cinquième terme. Eh bien, la première chose que nous pouvons remarquer si nous essayons de déterminer cette valeur est que nous avons cette notation, six 𝐶 quatre ou quatre parmi six. Mais comment calculer la valeur de ceci ? Eh bien, vous pouvez utiliser tout d’abord votre calculatrice. En effet il y a un petit bouton qui pourrait indiquer 𝑛 𝐶 𝑟. Donc ce que vous allez faire, c’est que vous allez presser, disons par exemple, le bouton six, puis 𝑛 𝐶 𝑟 puis quatre. Et cela représente quatre parmi six. Et ainsi vous obtiendrez sa valeur. Mais qu’est-ce que cela signifie réellement ?

Eh bien, si vous avez 𝑟 parmi 𝑛, soit dans notre cas quatre parmi six, ceci est égal à factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑟 multiplié par factorielle de 𝑛 moins 𝑟, où le point d’exclamation, que nous appelons factorielle, signifie que ce nombre est multiplié par chaque entier positif en descendant jusqu’à un. Ainsi, par exemple, factorielle de trois sera égal à trois multiplié par deux multiplié par un. Utilisons donc ceci pour déterminer à quoi est égal quatre parmi six. Ce sera donc égal à factorielle de six sur factorielle de quatre multiplié par factorielle de six moins quatre, ce qui sera égal à factorielle de six sur factorielle de quatre multiplié par factorielle de deux.

Eh bien, comme nous l’avons déjà établi, factorielle de six est égal à six multiplié par cinq multiplié par quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un. Ou nous pourrions réécrire ceci comme six multiplié par cinq multiplié par factorielle de quatre, ce qui pourra être très utile lorsque nous essayerons de déterminer la valeur que nous avons ici. Et c’est parce que nos factorielles de quatre vont s’éliminer. Il nous restera donc 30 sur deux. Et c’est parce que six multiplié par cinq est égal à 30. Et parce que factorielle de deux est simplement deux multiplié par un, nous obtenons que la valeur de quatre parmi six est égale à 15. Très bien, juste pour que nous puissions voir d’où provient ce résultat, je vous ai montré comment le trouver.

Maintenant, revenons en arrière et déterminons quel sera notre coefficient de 𝑎 indice cinq. Eh bien, nous allons obtenir 15, comme je viens de le montrer, multiplié par 81𝑥 au carré. Et ceci car neuf 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 est égal à 81𝑥 au carré et on va le multiplier par 16. Ceci va nous donc nous donner que le cinquième terme est égal à 19440𝑥 au carré. Et comme nous sommes simplement intéressés par le coefficient. Alors par conséquent, la réponse à notre problème est 19440.

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