Vidéo : Permutations et combinaisons Partie 1

Découvrez comment utiliser la formule de permutations pour calculer le nombre de façons d’organiser les objets lorsque leur ordre est pris en compte.

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Transcription de vidéo

Nous allons jeter un œil à des permutations et combinaisons. Nous expliquerons ce qu’ils signifient et nous verrons comment nous élaborons les formules, et nous verrons également comment les utiliser. Il existe plusieurs notations différentes couramment utilisées dans le monde. Je vais utiliser ceux-ci ici, mais évidemment vous devrez peut-être utiliser un autre format selon l’endroit où vous vivez.

Bien ! Voici une question. Combien y a-t-il de façons d’organiser les lettres 𝐴 et 𝐵 ? Eh bien, réfléchissons à cela car nous avons deux cases à remplir. Le premier, nous choisissons une lettre ; le second, nous choisissons une lettre. Eh bien, il y a évidemment deux choix pour cette première case. Nous pourrions soit choisir un 𝐴, soit un 𝐵, ce qui ne nous laisse qu’un choix, la lettre restante, pour l’autre case. Donc, nous avions deux choix pour celui-ci et un choix pour celui-ci, et chacun de ces deux pourraient être combinés avec celui-là donc en gros nous allons multiplier les deux ensemble. Donc, deux fois un est un total de deux combinaisons différentes. et évidemment nous aurions pu avoir 𝐴 alors 𝐵 ou nous aurions pu avoir 𝐵 alors 𝐴. D’accord, c’est le cas trivial. Passons à un cas un peu plus compliqué.

D’accord, ce n’est pas beaucoup plus compliqué. Combien y a-t-il de façons d’organiser les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ? Alors maintenant, nous avons trois cases, et nous avons trois choix de lettres pour la première case : 𝐴 ou 𝐵 ou 𝐶. Maintenant, quelle que soit la lettre que nous choisissons en premier, cela nous laisse deux choix pour une deuxième boîte. Si nous avons choisi 𝐴, nous pouvons choisir entre 𝐵 et 𝐶. Si nous avons choisi 𝐵, nous pouvons choisir entre 𝐴 et 𝐶. Et si nous avons choisi 𝐶 la première fois, nous avons alors le choix entre 𝐴 et 𝐵. Nous avons donc un choix pour la dernière case, et chacun des trois choix de la première case peut être mélangé avec l’un des deux de la seconde, et ils peuvent également être mélangés avec le dernier, ce qui est un peu bizarre car il n’y en a qu’un. Mais ce que nous pouvons faire, c’est les multiplier tous ensemble : trois fois deux fois un, ce qui nous donne un total de six combinaisons. Donc, si nous choisissons d’abord 𝐴, nous pouvons avoir 𝐵 puis 𝐶 ou nous pouvons avoir 𝐶 puis 𝐵. Si nous choisissions d’abord 𝐵, nous pourrions alors avoir 𝐴 puis 𝐶 ou nous pourrions avoir 𝐶 puis 𝐴. Et si nous choisissons d’abord 𝐶, les deux autres cases contenues pourraient contenir 𝐴 puis 𝐵 ou 𝐵 puis 𝐴. Donc, nous l’avons, nos six permutations différentes d’organiser les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans trois cases adjacentes.

D’accord, juste un de plus alors. Combien y a-t-il de façons d’organiser les quatre lettres 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 ? Nous avons donc quatre boîtes maintenant. Ainsi, lorsque nous regardons la première case, nous avons le choix entre quatre options : 𝐴, 𝐵, 𝐶 ou 𝐷. Et nous en choisissons une, et cela ne nous laisse que trois lettres parmi lesquelles choisir pour la deuxième case. Nous en choisissons un ; cela nous laisse deux pour la troisième case qui... ce n’est pas vraiment un choix mais cela ne laisse qu’une seule lettre que nous pouvons mettre dans la dernière case. Ainsi, n’importe lequel des quatre premiers choix peut être combiné avec n’importe lequel des trois seconds choix qui peuvent être combinés avec l’un des deux seconds choix qui peuvent également être combinés avec le dernier choix. Donc, fondamentalement, quatre fois trois fois deux fois un, vingt-quatre permutations différentes pour ces lettres 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Donc, si je choisis 𝐴 pour ma première boîte, j’ai alors 𝐵, 𝐶 et 𝐷 que je peux organiser pour les trois autres boîtes. Eh bien, nous venons d’examiner le problème des trois cases, il y a donc six façons d’organiser ces trois lettres. Et si je choisissais 𝐵 comme première lettre, cela me laisserait avec 𝐴, 𝐶 et 𝐷 qui, encore une fois, j’ai six façons de les distribuer dans les trois autres cases. Et, encore une fois, six autres chacun si je commence par un 𝐶 ou un 𝐷.

Maintenant, un petit côté, ma combinaison préférée est celle-ci ici parce que c’est 𝐴𝐶𝐷𝐵, qui est un biscuit digestif au chocolat qui est mon type de biscuit préféré. Quoi qu’il en soit, continuons. Donc, résumons simplement ce que nous avons fait jusqu’à présent : pour deux lettres, le nombre de permutations est deux fois un ; pour trois lettres, c’est trois fois deux fois une ; et pour quatre lettres, c’est quatre fois trois fois deux fois une. Donc, chaque fois que nous ajoutons une nouvelle lettre, nous ajoutons plus de permutations. Donc, si nous avons deux lettres, comme nous l’avons dit, c’est deux fois une. Eh bien, il y a les deux lettres. Si nous ajoutons une autre lettre, nous avons alors trois choix pour cette première lettre, et chacun de ces trois peut être combiné avec les permutations pour deux lettres que nous avions avant. De même, nous avons maintenant trois fois deux fois un. Voilà donc le nombre de permutations pour trois lettres. Si nous ajoutons une quatrième lettre, nous avons quatre choix pour la première lettre, puis nous avons six choix six permutations différentes pour les autres lettres.

Donc, si nous avions 𝑛 lettres ou disons 𝑛 objets, car il n’y a que vingt-six lettres de l’alphabet anglais, donc nous parlons cela fonctionne pour un certain nombre d’objets si 𝑛 objets, de travailler combien de permutations pour vous pouvez organiser les, c’est ce nombre 𝑛 fois une de moins que cela fois une de moins que cette fois une de moins que cela, et ainsi de suite et ainsi de suite et ainsi de suite, fois trois fois deux fois un tout le long jusqu’à un. C’est donc cette formule ici. Et nous avons en fait une façon abrégée d’écrire cela. Donc, pour économiser l’écriture de tous ces nombres à chaque fois, nous avons ce joli compact ici : 𝑛 factorielle, 𝑛 avec un point d’exclamation après, ce qui signifie 𝑛 fois le nombre qui est plus petit d’une unité le nombre qui est plus petit de deux unités et ainsi de suite et ainsi de suite jusqu’à un. Dans certaines parties du monde, vous pouvez voir cela écrit comme ceci, et cela signifie 𝑛 factorielle mais encore une fois, c’est juste une notation différente. Le premier est le format que je vais utiliser dans cette vidéo.

Donc, en général, pour 𝑛 objets uniques, il existe 𝑛 façons factorielle de les disposer dans des ordres différents. Et c’est facile à appliquer, alors par exemple ah combien de façons y a-t-il de disposer les lettres 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ? Eh bien, il y a cinq lettres, donc il y a cinq factorielle façons de les organiser. C’est cinq fois quatre fois trois fois deux fois un. Lorsque nous multiplions tout cela ensemble, nous obtenons cent vingt façons différentes. Bon, affinons légèrement la question et disons combien de façons il y a de choisir une lettre parmi les quatre lettres 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Eh bien, nous avons une boîte à remplir. Nous choisissons une lettre, et nous avons quatre choix pour cela : 𝐴, 𝐵, 𝐶 ou 𝐷. Bon alors combien de façons existe-t-il pour choisir deux lettres de la pile 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 ? Eh bien, nous avons quatre choix parmi la première boîte et nous en avons choisi une à ce moment-là. Alors, vous avez trois choix pour la deuxième case. Mais chacun de ces quatre peut être combiné avec n’importe lequel de ces trois, il y a donc douze façons différentes de le faire. Si nous choisissions 𝐴 la première fois, nous pourrions choisir entre 𝐵 ou 𝐶 ou 𝐷 pour la seconde. Si nous choisissons d’abord 𝐵, nous avons le choix entre 𝐴, 𝐶 ou 𝐷. Et de même avec 𝐶 et 𝐷, nous avons trois façons différentes de les combiner avec les autres lettres. Il y a donc douze façons. Alors, combien de façons de choisir trois lettres parmi 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ? Eh bien maintenant, nous avons trois boîtes. Nous avons quatre choix pour le premier, trois choix pour le second et deux choix pour le troisième ; ils peuvent tous être combinés ensemble donc nous les multiplions ensemble. C’est vingt-quatre choix différents. Donc, si je choisis 𝐴 en premier, je pourrais alors choisir 𝐵 ou 𝐶 ou 𝐷 en second. Et en fonction de ceux que je choisis, j’ai ensuite deux autres choix pour cette dernière option. Donc pour 𝐴 d’abord, il y a six options différentes ; pour 𝐵 d’abord, il existe également six options différentes. Pour 𝐶 d’abord, il y en a six autres ; et pour 𝐷 d’abord, il y en a six autres, ce qui fait un total de vingt-quatre options différentes ou vingt-quatre permutations pour cela. D’accord, notons simplement ces résultats. Donc, pour une lettre, nous avons quatre façons ; deux lettres, c’était quatre fois trois qui nous donnaient douze permutations ; trois lettres nous ont donné quatre fois trois fois deux, c’est vingt-quatre permutations ; et quatre lettres étaient quatre fois trois fois deux fois un, ce qui était vingt-quatre permutations. Maintenant, nous n’avons pas vraiment vécu cela, mais c’est assez évident ; une fois que vous avez utilisé les trois autres, il ne vous en reste qu’un, vous n’avez donc qu’un seul choix pour cette dernière place. Nous allons donc mettre un peu de notation alors. Donc quatre 𝑃 un signifie combien de permutations sont là lorsque nous choisissons un objet sur quatre, quatre 𝑃 deux signifie combien de permutations sont là lorsque nous choisissons deux objets sur quatre, quatre 𝑃 trois signifie combien de permutations pour trois objets sur quatre, et quatre 𝑃 quatre signifie combien de permutations sont disponibles pour choisir quatre objets sur quatre.

Nous avons donc vu qu’il y avait quatre factorielle façons d’organiser quatre lettres, donc quatre fois trois fois deux fois une. Je dois donc penser à ce que je peux faire pour obtenir la réponse pour une lettre lorsque je choisis une seule lettre parmi ces quatre. Eh bien, si je pouvais annuler les trois et les deux et un, cela me laisserait juste avec quatre. Donc, quand nous regardons deux lettres, réfléchissons à ce que nous essayons de générer un calcul de quatre fois trois. Eh bien, si je fais quatre fois trois fois deux fois un, c’est le nombre total de combinaisons de quatre lettres arrangées de différentes manières. Si j’en choisis deux, le nombre de permutations, si je peux annuler les deux et un, alors j’annule les deux et un, cela me laisserait avec mon calcul de quatre fois trois. Et pour trois lettres, on commence avec le même nombre de combinaisons et on va juste annuler celle-là.

Et je reviendrai et parlerai de la situation des quatre lettres dans un instant. Examinons donc comment générer ces trois calculs à gauche. Eh bien, les numérateurs sont tous quatre fois trois fois deux fois un donc ils sont tous quatre factorielle, et le dénominateur dans le premier cas est trois fois deux fois un. C’est trois factorielle. Dans le deuxième cas, c’est deux fois un, ce qui est deux factorielle. Et dans le troisième cas, c’est un. Eh bien, appelons simplement cela un factorielle. Et ensuite, nous en avons quatre en haut, c’est de là que viennent ces quatre, et nous en avons trois en bas. Eh bien quatre moins un nous en donne trois. Pour le deuxième cas, nous en avons quatre en haut, c’est de là que ça vient. Quatre moins deux nous donne deux. Et pour le troisième, nous avons les quatre en haut et nous en avons un en bas, donc quatre moins trois nous laissent avec un.

Il suffit donc d’essayer de repérer le modèle qui est émergent ici, le nombre d’objets que nous avions en tête nous dit ici ce que le nombre sur le numérateur est va être. Et si nous soustrayons le nombre que nous choisissons de ce nombre, ce nombre en haut là-bas, cela nous dit quel nombre va aller sur le dénominateur. Maintenant, si nous appliquons ce modèle au dernier cas ici, nous avons quatre factorielle en haut et quatre moins quatre est zéro factorielle en bas. Et il y a un petit problème, zéro factorielle. Qu’est-ce que ça veut dire ? Rappelez-vous bien, factorielle est que vous prenez le nombre et ensuite vous continuez à soustraire un et vous multipliez. Donc quatre fois trois fois deux fois une et ainsi de suite. Mais si nous partons de zéro, qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, il y a un peu d’astuce ici. Nous définissons cela comme étant égal à un, et désolé ! Cela peut sembler un peu inconfortable de choisir cela, mais c’est la définition de factorielle zéro : c’est un. Donc, si nous prenons cette définition de factorielle zéro, nous nous retrouvons avec quatre factorielle sur zéro factorielle, quatre factorielle sur un. C’est donc encore un nombre et cela nous donne toujours la bonne réponse.

Donc 𝑛 𝑃 𝑟 est 𝑛 factorielle sur 𝑛 moins 𝑟 factorielle, où 𝑛 𝑃 𝑟 est le nombre de permutations pour organiser 𝑟 objets à partir d’un ensemble de 𝑛 objets. Et rappelez-vous ce terme provisoire ici que nous avons défini zéro factorielle égal à un pour que cette ensemble fonctionne. Nous avons donc vu qu’il y a vingt-quatre permutations différentes pour choisir trois lettres dans un sac de quatre lettres, et ce sont les différentes combinaisons que nous avons écrites ici. Donc, ce que vous remarquerez peut-être, c’est que certains d’entre eux sont en fait équivalents. Ainsi, par exemple, ces six combinaisons différentes ne sont que des variations de 𝐴, 𝐵 et 𝐶, juste dans des ordres différents. Et ceux-ci sont les six variantes de façons d’organiser 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Donc, ces vingt-quatre combinaisons différentes au total se résument en fait à six qui sont des variations sur 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ; six qui sont des variations sur 𝐴, 𝐵 et 𝐷 ; six variations sur 𝐴, 𝐶 et 𝐷 ; et six variations sur 𝐵, 𝐶 et 𝐷.

Nous allons donc examiner cette situation plus en détail dans une autre vidéo où vous êtes vous n’êtes pas tellement intéressé par l’ordre, mais vous ne voulez savoir combien de combinaisons d’objets que vous obtenez lorsque vous tirez tant d’objets d’un sac.

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