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Vidéo de question : Exprimer un système d’équations sous la forme d’une équation matricielle Mathématiques

Exprimez les équations simultanées données 4𝑥 - 2𝑦 = 0 et 3𝑦 + 5𝑥 = −11 comme une équation matricielle.

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Transcription de vidéo

Exprimez les équations simultanées données 4𝑥 moins deux 𝑦 est égal à zéro et trois 𝑦 plus cinq 𝑥 est égal à moins 11 comme une équation matricielle.

Dans cette question, on nous donne un système d’équations à deux inconnues 𝑥 et 𝑦 et on nous demande d’écrire ceci comme une équation matricielle. Nous pouvons le faire en rappelant comment nous écrivons un système d’équations à deux inconnues sous la forme d’une équation matricielle. Nous pouvons commencer par rappeler que pour écrire notre système sous la forme d’une équation matricielle, nous voulons d’abord vérifier que les équations sont écrites sous forme standard. Il s’agit de la forme où les valeurs constantes apparaissent uniquement sur le côté droit de notre équation et que chacun des termes variables est sur le côté gauche de notre équation écrits dans le même ordre.

Dans ce cas, nous disons que 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑒 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑓, où 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 et 𝑓 sont des constantes. Si tel est le cas, nous pouvons le réécrire comme l’équation matricielle. Nous avons la matrice deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 multipliée par la matrice deux un 𝑥, 𝑦 est égale à la matrice deux un 𝑒, 𝑓. Nous pouvons voir pourquoi cette équation matricielle est la même que notre système en réalisant le produit matriciel du côté gauche de l’équation. Par exemple, multiplier la première ligne de la première matrice par la seule colonne de la deuxième matrice nous donnerait 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦, ce qui est égal au côté gauche de la première équation. Nous pouvons également remarquer à partir de l’équation matricielle que cela doit être égal à 𝑒, qui est le côté droit de la première équation.

Avant d’utiliser cela pour écrire notre système comme une équation matricielle, nous devons toujours vérifier que nos équations simultanées sont données sous forme standard. Tout d’abord, vérifions que les termes sont donnés dans le même ordre dans toutes nos équations. Dans la première équation, nous avons notre terme 𝑥 puis notre terme 𝑦. Il s’agit de l’ordre alphabétique. Cependant, dans la deuxième équation, ces deux termes sont donnés dans l’ordre opposé. Nous allons donc réorganiser ces deux termes dans notre équation. Nous allons écrire cette équation comme cinq 𝑥 plus trois 𝑦 est égal à moins 11. Nous laisserons la première équation inchangée. Nous pouvons voir que les constantes sont seules à droite des équations.

Alors, maintenant, nous avons réécrit les équations sous forme standard, nous pouvons donc utiliser ceci pour réécrire le système comme une équation matricielle. Nous pouvons le faire étape par étape en trouvant chaque matrice séparément. Commençons par la première matrice qui est connue sous le nom de matrice de coefficients. En effet, chaque entrée de cette matrice correspond aux coefficients des variables de nos équations. Il est très important de se rappeler que les coefficients prennent le signe de la valeur constante devant la variable. Ainsi, en écrivant ces coefficients dans une matrice deux deux, nous obtenons la matrice deux deux : quatre, moins deux, cinq, trois.

Nous pouvons maintenant passer à la deuxième matrice de cette équation, appelée matrice de variables, car les entrées sont les variables de nos équations. Dans ce cas, il s’agit d’une matrice colonnes, ce qui signifie qu’elle n’a qu’une seule colonne et que le nombre de lignes est égal au nombre de variables. Nous devons les écrire dans l’ordre donné dans les équations. Dans ce cas, nos équations ont deux variables 𝑥 et 𝑦. Ainsi, la matrice variable pour notre équation sera la matrice deux un 𝑥, 𝑦.

Enfin, nous devons trouver la troisième matrice dans cette équation, souvent appelée matrice solution ou matrice des constantes. En effet, les entrées de cette matrice sont données comme les constantes des équations. Dans ce cas, nous pouvons voir que nous aurons zéro et moins 11. Ainsi, nous définissons cette matrice égale à la matrice deux un : zéro, moins 11.

Voici notre réponse finale. Il convient de souligner que nous pouvons vérifier cette réponse en réalisant le produit matriciel au côté gauche de l’équation. Cependant, nous avons pu montrer que nous pouvons réécrire le système qui nous a été donné dans la question comme la matrice deux deux : quatre, moins deux, cinq, trois fois la matrice deux un 𝑥, 𝑦 est égale à la matrice deux un : zéro, moins 11.

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