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Vidéo de question : Comparer les vitesses à partir d’un graphique distance-temps Physique

Est-ce que les vitesses associées aux droites représentées sur ce graphique distance-temps varient dans le même rapport entre deux droites voisines ?

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Transcription de vidéo

Est-ce que les vitesses associées aux droites représentées sur ce graphique distance-temps varient dans le même rapport entre deux droites voisines ?

Dans cette question, nous avons trois droites - une droite bleue, une droite rouge et une droite verte - représentées sur un graphique distance-temps. Il s’agit d’un graphique qui représente la distance sur l’axe vertical, ou l’axe des 𝑦, en fonction du temps sur l’axe horizontal, ou l’axe des 𝑥. On nous demande si les vitesses associées à ces trois droites varient dans le même rapport entre deux droites voisines. Appelons les vitesses associées aux droites bleue, rouge et verte respectivement 𝑉 indice b, 𝑉 indice r et 𝑉 indice v. Nous pouvons voir sur le graphique que la droite bleue et la droite rouge sont voisines et que la droite rouge et la droite verte sont également voisines.

Lorsqu’on nous demande si les vitesses associées à deux courbes voisines varient dans le même rapport, on nous demande en fait si cette égalité mathématique est vérifiée. Sur le côté gauche, nous avons 𝑉 indice b divisé par 𝑉 indice r, qui est le rapport entre la vitesse associée à la droite bleue et la vitesse associée à la droite rouge. Ensuite, à droite, nous avons 𝑉 indice r divisé par 𝑉 indice v. C’est le rapport entre la vitesse associée à la droite rouge et la vitesse associée à la droite verte. Cette égalité dit que le rapport entre la vitesse de la droite bleue et la vitesse de la droite rouge est égal au rapport entre la vitesse de la droite rouge et la vitesse de la droite verte.

Donc, ce que nous devons faire, c’est calculer le terme de gauche et le terme de droit et vérifier qu’ils sont bien égaux. Si nous constatons qu’ils sont bien égaux, alors la réponse à la question est oui, les vitesses associées aux droites voisines varient dans le même rapport. Et si nous constatons qu’ils ne sont pas égaux, alors la réponse est non, les vitesses associées aux droites voisines ne varient pas dans le même rapport. Pour calculer ces deux rapports, commençons par calculer les vitesses 𝑉 indice b, 𝑉 indice r et 𝑉 indice v individuellement.

Rappelons que la vitesse d’un objet est définie comme la variation de distance parcourue par cet objet en fonction du temps. Avec cette définition, si un objet se déplace sur une distance Δ𝑑 et qu’il lui faut un temps Δ𝑡, alors la vitesse de cet objet, que nous appellerons 𝑉, est égale à Δ𝑑 divisé par Δ𝑡. Nous pouvons également écrire cette fraction d’une autre manière. Si entre un instant 𝑡 un et un instant 𝑡 deux la distance parcourue par un objet passe d’une valeur 𝑑 un à une valeur 𝑑 deux, alors sur cet intervalle, Δ𝑑 est égal à 𝑑 deux moins 𝑑 un et Δ𝑡 est égal à 𝑡 deux moins 𝑡 un. Nous avons alors que la vitesse 𝑉 est égale à 𝑑 deux moins 𝑑 un divisé par 𝑡 deux moins 𝑡 un.

Comme un graphique distance-temps représente la distance sur l’axe vertical en fonction du temps sur l’axe horizontal, si 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux sont les coordonnées de deux points sur une droite représentée sur un graphique distance-temps, l’expression de la vitesse 𝑉 est donc égale à la différence entre les coordonnées verticales entre ces deux points, divisée par la différence entre les coordonnées horizontales entre les deux mêmes points. Autrement dit, si nous avons une droite représentée sur un graphique distance-temps, cette expression permet de calculer la pente de la droite. On peut alors dire que la vitesse d’un objet est égale à la pente de la droite correspondante sur le graphique distance-temps.

Alors, nous avons dit précédemment que nous voulions calculer ces trois vitesses : 𝑉 indice b, 𝑉 indice r et 𝑉 indice v. Dans chaque cas, nous pouvons le faire en utilisant cette expression pour calculer la pente de la droite correspondante sur le graphique. Et nous savons que cette pente nous donnera la vitesse. Faisons un peu de place au tableau et allons-y. Commençons par la droite bleue du graphique, qui correspond au calcul de la vitesse 𝑉 indice b. Pour calculer la pente de cette droite bleue, nous devons choisir deux points sur cette droite. Et nous appellerons ces coordonnées 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux. Nous allons choisir l’origine du graphique comme premier point de cette droite, ce point à une valeur de temps de zéro seconde et une valeur de distance de zéro mètre. Ensuite, pour le deuxième point, nous allons choisir celui-ci là.

Si nous traçons une droite verticale vers le bas à partir de ce point jusqu’à l’axe des temps, nous pouvons voir que ce point correspond à une valeur de temps de quatre secondes. Voilà donc la valeur de 𝑡 deux. Si nous traçons ensuite une droite horizontale par rapport à l’axe des distances, nous pouvons voir que ce point correspond à une distance parcourue de huit mètres, c’est donc la valeur de 𝑑 deux. Nous pouvons maintenant prendre ces quatre valeurs et les insérer dans cette équation afin de calculer la vitesse associée à la droite bleue V indice b. En faisant cela, nous obtenons cette expression ici. Au numérateur, nous avons huit mètres, c’est la distance 𝑑 deux, moins zéro mètre, c’est la valeur de 𝑑 un. Et puis, au dénominateur, nous avons quatre secondes, c’est la valeur de 𝑡 deux, moins zéro seconde, la valeur de 𝑡 un.

Nous pouvons simplifier cette expression car huit mètres moins zéro mètre donne simplement huit mètres, et de même, quatre secondes moins zéro seconde donne simplement quatre secondes. Nous avons donc que la vitesse V indice b est égale à huit mètres divisés par quatre secondes. Cela correspond à une vitesse de deux mètres par seconde.

Maintenant que nous avons trouvé la vitesse associée à la droite bleue, continuons ainsi et faisons la même chose pour la droite rouge. Comme pour la droite bleue, pour trouver la vitesse 𝑉 indice r associée à la droite rouge, il faut commencer par choisir deux points sur cette droite. De même, pour le premier point, nous allons choisir l’origine du graphique, ce qui signifie que nous avons 𝑡 un est égal à zéro seconde et 𝑑 un est égal à zéro mètre. Pour le deuxième point, nous allons choisir celui-ci ici. En traçant une droite jusqu’à l’axe des temps, nous pouvons voir que ce point correspond à un temps de quatre secondes, c’est donc la valeur de 𝑡 deux. Ensuite, en traçant une droite jusqu’à l’axe des distances, nous pouvons voir que la distance en ce point est égale à quatre mètres, c’est donc la valeur de 𝑑 deux.

En remplaçant maintenant ces quatre valeurs dans l’équation, nous obtenons cette expression pour la vitesse V indice r. Au numérateur, quatre mètres moins zéro mètre donnent quatre mètres. Et de même au dénominateur, quatre secondes moins zéro seconde donnent quatre secondes. Nous avons donc que 𝑉 indice r est égal à quatre mètres divisés par quatre secondes, ce qui correspond à une vitesse d’un mètre par seconde. La dernière vitesse à calculer est la vitesse V indice v, associée à la droite verte. Encore une fois, nous allons choisir l’origine comme premier point, ce qui nous donne 𝑡 un est égal à zéro seconde et 𝑑 un est égal à zéro mètre. Pour le deuxième point de la droite verte, nous choisissons ce point ici. Nous pouvons voir que ce point correspond à un temps de quatre secondes, c’est donc la valeur de 𝑡 deux.

Nous pouvons également voir que la distance parcourue en ce point est égale à deux mètres, c’est donc la valeur de 𝑑 deux. En utilisant ces valeurs dans l’équation, nous obtenons cette expression pour la vitesse V indice v. Le calcul nous donne une vitesse de 0,5 mètres par seconde. Maintenant que nous avons calculé les valeurs des trois vitesses associées à chacune des trois droites du graphique distance-temps, nous pouvons calculer ces deux rapports et vérifier s’ils sont égaux ou non. Faisons un peu d’espace au tableau pour le faire.

Commençons par calculer 𝑉 indice b sur 𝑉 indice r. C’est le rapport entre la vitesse représentée par la droite bleue et la vitesse représentée par la droite rouge. En remplaçant 𝑉 indice b, qui est égale à deux mètres par seconde, et 𝑉 indice r, qui est égale à un mètre par seconde, nous avons que ce rapport est égal à deux mètres par seconde divisé par un mètre par seconde. Dans cette expression, nous pouvons voir que les mètres par seconde se simplifient au numérateur et au dénominateur et nous avons donc un terme sans dimension. Ensuite, en calculant deux divisé par un, nous obtenons que ce rapport 𝑉 indice b sur 𝑉 indice r est égal à deux.

Maintenant, calculons 𝑉 indice r divisé par 𝑉 indice v. C’est le rapport entre la vitesse représentée par la droite rouge et la vitesse représentée par la droite verte. En remplaçant 𝑉 indice r, qui vaut un mètre par seconde, et 𝑉 indice v, qui vaut 0,5 mètres par seconde, nous obtenons cette expression ici. Comme précédemment, les mètres par seconde se simplifient au numérateur et au dénominateur. Il nous reste un divisé par 0,5, ce qui correspond à un rapport de deux.

Comme nous avons obtenu le même rapport de deux dans chaque cas, nous pouvons alors dire que l’affirmation est vraie. La réponse à cette question est donc oui. Les vitesses associées aux droites sur ce graphique distance-temps varient dans le même rapport pour deux droites voisines.

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