Vidéo de la leçon: Soustraction de nombres rationnels Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à soustraire des nombres rationnels, y compris des fractions et des nombres décimaux. Avant de considérer la soustraction des nombres rationnels, rappelons-nous ce que sont les nombres rationnels.

Une définition formelle des nombres rationnels dit que les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous la forme 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro. Les nombres rationnels peuvent être obtenus en divisant deux entiers 𝑝 sur 𝑞. Une autre façon de penser à cela est qu’ils peuvent être écrits comme une fraction de deux entiers. Un nombre ne doit pas nécessairement être sous cette forme pour être rationnel. Par exemple, 0,5 n’est pas actuellement écrit sous la forme 𝑝 sur 𝑞, mais nous savons que cinq dixièmes est égal à un demi. Et parce que 0,5 peut être écrit sous la forme un sur deux, c’est rationnel.

Tous les nombres entiers, l’ensemble des nombres entiers positifs et leurs opposés sont des nombres rationnels. Un sous-ensemble des nombres entiers, qui sont rationnels, sont tous les nombres naturels. Et un sous-ensemble des nombres naturels sont les nombres entiers positifs, parfois appelés nombres qui servent à compter. Les nombres entiers positifs sont l’ensemble des nombres commençant par un et continuant vers le haut par un. Les nombres naturels comprennent la valeur zéro. Les nombres entiers comprennent les valeurs négatives. Et les valeurs rationnelles peuvent être des nombres décimaux tant qu’elles peuvent être écrites en fractions. Par exemple, nous savons que 0,3 périodique est égal à un tiers. Par conséquent, 0,3 périodique est rationnel.

Les nombres fractionnaires sont rationnels, de même que les fractions impropres. Mais dans cette vidéo, nous voulons parler de soustraction de nombres rationnels, ce qui me rappelle quelque chose que ma grand-mère disait. Des pommes et des oranges ! Laissez-moi vous expliquer. Ceci est juste une expression pour les cas où deux groupes ou éléments ne peuvent pas être comparés en pratique. Et lorsque nous soustrayons des nombres rationnels, nous ne voulons pas essayer et soustraire des valeurs qui ne sont pas écrites sous la même forme. Par exemple, si nous voulions dire deux et demi moins 0,3 périodique, nous commençons avec un nombre fractionnaire et nous essayons de soustraire un nombre décimal périodique. Et ce sont les pommes et les oranges.

Cependant, si nous écrivions 0,3 périodique comme une fraction et que nous réécrivions deux et un demi comme une fraction impropre, elles se trouveraient alors sous la même forme, et nous pourrions soustraire. Ainsi, la clé pour soustraire des nombres rationnels est d’abord de vous assurer que vous mettez vos valeurs dans la même forme. Nous devons soustraire les pommes des pommes ou les oranges des oranges. Voyons donc quelques exemples.

Calculez deux cinquièmes moins quatre cinquièmes en donnant le nombre sous sa forme irréductible.

Lorsque nous regardons cette expression deux cinquièmes moins quatre cinquièmes, nos deux valeurs sont des fractions. Et elles ont un dénominateur commun. Puisque les deux fractions sont sous la même forme et ont un dénominateur commun, pour soustraire, nous soustrayons simplement leurs numérateurs, et le dénominateur reste le même. Cela signifie que nous aurons deux moins quatre sur cinq. Nous savons que deux moins quatre égale moins deux. Puis, le dénominateur est cinq. Et donc, nous disons que deux cinquièmes moins quatre cinquièmes est égal à moins deux cinquièmes.

Dans notre premier exemple, nous soustrayions deux fractions. Dans notre prochain exemple, nous réfléchirons à la façon de soustraire un nombre fractionnaire d’un nombre fractionnaire.

Calculez neuf et trois douzièmes moins deux et huit douzièmes. Donnez votre réponse sous forme de nombre fractionnaire.

Nous essayons de soustraire un nombre fractionnaire d’un nombre fractionnaire. Et pour ce faire, il y a des choses auxquelles nous devons penser. Tout d’abord, pour les fractions de notre nombre fractionnaire, ont-elles un dénominateur commun ? Dans ce cas, elles en ont ; les deux ont un dénominateur de 12. Après cela, nous pourrions convertir ces deux nombres fractionnaires en fractions impropres. Cependant, comme notre réponse finale doit être écrite sous la forme d’un nombre fractionnaire, nous pouvons également suivre une autre démarche.

Nous pourrions essayer de soustraire huit douzièmes de trois douzièmes, mais nous avons rencontré un problème car huit douzièmes est supérieur à trois douzièmes. Donc, nous devrons réécrire au moins les neuf et trois douzièmes. Une façon de le faire est de retirer un de notre nombre entier de neuf et de le rendre huit. Et lorsque nous faisons cela, nous pouvons ajouter 12 à notre numérateur. C’est parce que nous avons pris un de notre nombre entier, ce qui est égal à douze douzièmes. Et douze douzièmes plus trois douzièmes font quinze douzièmes. Huit et quinze douzièmes est égal à neuf et trois douzièmes. Il est simplement écrit sous une forme différente.

Ensuite, nous pouvons dire huit et quinze douzièmes moins deux et huit douzièmes. Dans ce cas, nous pouvons soustraire les nombres entiers et les morceaux de nombres fractionnaires. Pour soustraire huit douzièmes de quinze douzièmes, on dit que 15 moins huit égale sept. Et le dénominateur reste le même, 12. Et maintenant, nous travaillons sur le nombre entier de morceaux. Huit moins deux égale six. Et cela signifie que neuf et trois douzièmes moins deux et huit douzièmes seront égaux à six et sept douzièmes. C’est déjà sous la forme d’un nombre fractionnaire. Et sept douzièmes ne peut plus être réduit, faisant de six et sept douzièmes notre réponse finale.

Dans notre exemple suivant, nous aurons encore deux nombres fractionnaires, mais cette fois, nous ne commençons pas par des dénominateurs communs.

Calculez sept et un quart moins quatre et cinq huitièmes. Donnez votre réponse sous forme de nombre fractionnaire.

Lorsque nous regardons l’expression sept et un quart moins quatre et cinq huitièmes, ce sont deux nombres fractionnaires. Cependant, la partie de la fraction des nombres fractionnaires n’a pas de dénominateur commun. Et nous savons que pour travailler avec ces valeurs, nous avons besoin qu’elles soient sous la même forme. Puisque nous avons affaire aux dénominateurs quatre et huit et que nous savons que quatre est un facteur de huit, quatre fois deux égale huit, ce qui signifie que nous pourrions réécrire un quart en deux huitièmes. Une fois que nous faisons cela, nous avons sept et deux huitièmes moins quatre et cinq huitièmes.

Cependant, nous ne sommes toujours pas tout à fait prêts à soustraire car nous essayons de prendre cinq huitièmes de deux huitièmes. Et cela signifie que pour notre premier nombre fractionnaire de sept et deux huitièmes, nous devons emprunter à la partie des nombres entiers. Si on retire un entier de sept, on laisse six. Et cette valeur entière que nous avons retirée est égale à la fraction huit huitièmes. Si on ajoute deux huitièmes plus huit huitièmes, on obtient dix huitièmes. Le nombre fractionnaire six et dix huitièmes est la même valeur que sept et un quart écrit sous une forme différente.

Maintenant, nous sommes prêts à soustraire, six et dix huitièmes moins quatre et cinq huitièmes. Pour soustraire la partie de la fraction, puisque nous avons des dénominateurs communs, nous dirons 10 moins cinq. C’est-à-dire que nous soustrayons les valeurs du numérateur. Et le dénominateur ne change pas. Dix huitièmes moins cinq huitièmes égale cinq huitièmes. Puis, nous soustrayons les parties de nombres entiers. Six moins quatre égale deux, ce qui nous donne le résultat de deux et cinq huitièmes. Cinq huitièmes ne peut plus être simplifié. Deux et cinq huitièmes est un nombre fractionnaire et constitue notre réponse finale.

Jusqu’à présent, nous n’avons calculé que les valeurs déjà données sous la même forme. Dans notre exemple suivant, nous devrons trouver la différence entre un nombre décimal et une fraction.

Déterminez la différence entre moins 0,85 et deux cinquièmes en donnant votre réponse sous forme de fraction irréductible.

La différence entre moins 0,85 et deux cinquièmes peut être écrite comme moins 0,85 moins deux cinquièmes. Mais une fois que nous arrivons à ce point, nous avons un problème. Et c’est que nos deux valeurs sont données sous des formes différentes, ce qui signifie que nous avons un choix à faire. Nous pouvons convertir les deux cinquièmes en un nombre décimal afin de soustraire un nombre décimal d’un nombre décimal. Ou nous pouvons convertir moins 0,85 en une fraction afin de soustraire une fraction d’une fraction. Les deux méthodes fonctionneront, mais on nous a dit de donner la réponse sous forme de fraction irréductible. Et cela signifie que cela vaut probablement la peine de soustraire une fraction d’une fraction.

Et cela signifie que nous devons réfléchir à la façon dont nous écririons moins 0,85 sous forme de fraction. Puisque le cinq dans moins 0,85 se trouve à la place des centièmes, nous disons que c’est moins quatre-vingt-cinq centièmes. Et comme une fraction, c’est moins 85 sur 100. Mais avant de continuer, nous voudrons peut-être voir si nous pouvons simplifier quatre-vingt-cinq centièmes. 85 et 100 sont tous deux divisibles par cinq. Moins 85 divisé par cinq égale moins 17, et 100 divisé par cinq égale 20, ce qui signifie que nous essayons de dire moins 17 sur 20 moins deux cinquièmes.

Cependant, nous voyons maintenant que nous n’avons pas de dénominateur commun dans nos deux fractions. Mais nous savons que cinq fois quatre égale 20. Et cela signifie que nous pouvons multiplier les deux cinquièmes par quatre sur quatre. Deux fois quatre font huit, et cinq fois quatre font 20. Nous avons maintenant moins dix-sept vingtièmes moins huit vingtièmes. Puisque nous avons des dénominateurs communs, nous pouvons faire une soustraction en soustrayant les numérateurs, qui seront moins 17 moins huit. Le dénominateur ne change pas. Cela reste 20. Moins 17 moins huit sera égal à la valeur négative de 17 plus huit. C’est moins 25.

Donc, nous avons moins 25 sur 20. Ces deux valeurs sont divisibles par cinq. Moins 25 divisé par cinq égale moins cinq. 20 divisé par cinq égale quatre. Et cela signifie que moins 0,85 moins deux cinquièmes est égal à moins cinq quarts.

Maintenant, nous sommes prêts à regarder un autre exemple.

Calculez sept quarts moins moins un demi, en donnant la réponse sous sa forme irréductible.

Nous avons l’expression sept sur quatre moins moins un sur deux. Nous reconnaissons que ces deux valeurs sont des fractions. Cependant, elles n’ont pas le même dénominateur. Et nous savons que pour additionner ou soustraire des fractions, nous devons d’abord trouver un dénominateur commun. Nous recherchons le plus petit commun multiple entre deux et quatre, parfois appelé PPCM. Si nous pensons aux multiples de deux, nous avons deux, quatre et six. Mais quatre est déjà un multiple de deux. Et cela signifie que le plus petit commun multiple de deux et quatre sera quatre.

Nous ne modifierons pas sept quarts, mais nous réécrirons moins un demi comme une fraction avec le dénominateur quatre. Deux fois deux font quatre. Et moins un fois deux font moins deux. Cela signifie que notre nouvelle expression sera sept quarts moins moins deux quarts. Nous nous souvenons également que lorsque nous soustrayons une valeur négative, nous pouvons réécrire cela comme une addition. Ainsi, sept quarts moins moins deux quarts est égal à sept quarts plus deux quarts.

Une fois que nous avons des fractions avec un dénominateur commun, nous les additionnons en additionnant leurs numérateurs. Sept plus deux font neuf. Et le dénominateur ne change pas. Sept quarts plus deux quarts font neuf quarts. Nous voulons donner cette réponse sous sa forme irréductible. Et cela signifie que nous voulons vérifier et voir s’il y a des facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur. Neuf et quatre ne partagent aucun facteur commun, à part un. Et cela fait de la fraction neuf quarts sa forme irréductible.

Dans notre dernière question, nous allons rassembler toutes ces compétences en soustrayant des valeurs sous trois formes différentes.

Calculez cinq douzièmes moins moins un tiers moins 0,75.

Dans cette expression, nous avons des fractions avec des dénominateurs différents et nous avons une valeur décimale. Pour effectuer cette soustraction, nous aurons besoin de ces trois valeurs sous la même forme. Et cela signifie que nous devrons réécrire chacune de ces valeurs sous forme de fractions avec des dénominateurs communs. Avant de traiter les dénominateurs communs, commençons par notre valeur décimale et écrivons-la sous forme de fraction.

0,75 a un cinq à la place des centièmes, ce qui signifie que, en tant que fraction, 0,75 peut être écrit comme 75 sur 100. Mais 75 et 100 sont tous deux divisibles par 25. 75 divisé par 25 égale trois, et 100 divisé par 25 égale quatre. Soixante-quinze centièmes égale trois quarts. Il est également possible que ce soit une valeur que vous connaissez déjà. C’est un nombre décimal commun et une fraction commune. Soixante-quinze centièmes égale trois quarts.

Notre nouvelle expression est alors cinq douzièmes moins moins un tiers moins trois quarts. Et nous avons besoin d’un dénominateur commun entre 12, trois et quatre. Pour trouver ce dénominateur commun, nous recherchons le plus petit commun multiple. Si nous énumérons les multiples de trois, nous avons trois, six, neuf, 12, 15. Nous faisons la même chose pour quatre, où nous avons quatre, huit, 12 et 16. À ce stade, nous reconnaissons que 12 est un multiple de trois et de quatre. Et cela signifie que 12 sera le plus petit commun multiple entre ces trois valeurs.

Nous voulons ensuite réécrire toutes ces fractions avec le dénominateur 12. Cinq douzièmes reste le même. À ce stade, nous pouvons également dire que soustraire moins un tiers revient à additionner. Si nous voulons écrire un tiers sous forme de fraction avec le dénominateur 12, nous devons le multiplier par quatre sur quatre. Puis, pour réécrire la fraction trois quarts avec le dénominateur de 12, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par trois, ce qui signifie que notre nouvelle expression sera cinq douzièmes plus quatre douzièmes moins neuf douzièmes.

Une fois que nous avons des dénominateurs communs, nous pouvons additionner et soustraire simplement en additionnant et en soustrayant les numérateurs. Et le dénominateur ne changerait pas. Donc, nous avons cinq plus quatre moins neuf sur 12. Cinq plus quatre font neuf, et neuf moins neuf font zéro. Zéro douzièmes est égal à zéro. Et cela signifie que cinq douzièmes moins moins un tiers moins 0,75 est égal à zéro.

Avant de terminer, passons rapidement en revue les points clés. Lorsque vous soustrayez des nombres rationnels sous forme de fractions, y compris des nombres fractionnaires, écrivez toutes les valeurs avec un dénominateur commun en utilisant le plus petit commun multiple. Lorsque vous soustrayez des nombres rationnels sous forme de nombres décimaux et de fractions, écrivez toutes les valeurs sous forme décimale ou, alternativement, écrivez toutes les valeurs sous forme de fractions avec un dénominateur commun.