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Vidéo de question : Déterminer la longueur des cordes dans un cercle en utilisant les propriétés de cordes Mathématiques

Sur la figure suivante, déterminez la valeur de 𝑥.

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Transcription de vidéo

Sur la figure suivante, déterminez la valeur de 𝑥.

Regardons attentivement la figure. Elle se compose d’un cercle avec deux cordes : les droites 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. Les deux cordes se coupent en un point 𝐸 à l’intérieur du cercle. On nous demande de trouver la valeur de 𝑥, qui a été utilisée dans les expressions pour les longueurs des segments des deux cordes.

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler un point clé sur la longueur des segments des cordes qui se coupent. Le fait dont nous avons besoin est le suivant : si deux cordes se coupent dans un cercle, alors les produits des longueurs des segments de cordes sont égaux.

Dans notre cercle, ceci signifie que le produit des deux segments des cordes 𝐶𝐷 - donc 𝐶𝐸 et 𝐸𝐷 - est égal au produit des deux segments de la corde 𝐴𝐵 - donc 𝐴𝐸 et 𝐸𝐵. Nous avons 𝐶𝐸 multiplié par 𝐸𝐷 est égal à 𝐴𝐸 multiplié par 𝐸𝐵.

Comme on nous a donné des expressions pour la longueur de chacun de ces segments de cordes, nous pouvons maintenant les remplacer pour obtenir une équation en fonction de 𝑥. Ceci donne 𝑥 multiplié par 𝑥 plus 12 pour le produit des segments de cordes pour la corde verte 𝐶𝐷 est égal à 𝑥 plus huit multiplié par 𝑥 plus trois pour le produit des segments de la corde rose 𝐴𝐵.

Maintenant, simplifions cette équation en développant les parenthèses. Sur le membre gauche, nous avons 𝑥 carré plus 12𝑥 et sur le membre droit 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus trois 𝑥 plus 24. Et vous pouvez faire ce développement comme vous êtes plus à l’aise à développer des parenthèses, par exemple, en utilisant la méthode de double distributivité.

Maintenant, je voudrais résoudre cette équation afin de trouver la valeur de 𝑥. Et c’est actuellement une équation du second degré. Cependant, nous n’avons qu’un seul 𝑥 au carré de chaque membre de l’équation. Et par conséquent, ceux-ci s’annulent directement. Alors maintenant, c’est devenu une équation linéaire.

Simplifions le membre droit en regroupant les termes en 𝑥. Nous avons maintenant 12𝑥 est égal à 11𝑥. C’est huit 𝑥 plus trois 𝑥 plus 24. Pour résoudre cette équation, nous devons soustraire 11𝑥 aux deux membres. La soustraction de 11𝑥 de 12𝑥 donne juste un 𝑥 ou 𝑥. Et sur le membre droit, il ne nous reste plus que 24. Donc en fait, nous avons résolu l’équation pour donner 𝑥 est égal à 24. Par conséquent, notre réponse au problème est 24.

Rappelez-vous que le point essentiel que nous avons utilisé dans cette question était que si deux cordes se coupent dans un cercle, alors les produits des longueurs des segments de cordes sont égaux.

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