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Vidéo de question : Déterminer une fonction du second degré représentée par un graphique donné Mathématiques

Laquelle des fonctions suivantes correspond à la représentation graphique ci-dessous ? [A] 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 2 [B] 𝑓(𝑥) = 2𝑥² - 2 [C] 𝑓(𝑥) = −2𝑥² − 2 [D] 𝑓(𝑥) = 2 - 2𝑥² [E] 𝑓(𝑥) = 2 - 𝑥²

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Transcription de vidéo

Laquelle des fonctions suivantes correspond à la représentation graphique ci-dessous ? (A) 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus deux. (B) 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré moins deux. (C) 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑥 au carré moins deux. (D) 𝑓 de 𝑥 est égal à deux moins deux 𝑥 au carré. (E) 𝑓 de 𝑥 est égal à deux moins 𝑥 au carré.

Commençons par identifier certaines caractéristiques clés du graphique qui nous a été donné. Tout d’abord, nous observons que la courbe représentative de la fonction a la forme d’une parabole. Le graphique représente donc une fonction du second degré. La forme la plus générale d’une fonction du second degré est 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles et 𝑎 est différent de zéro. Nous pouvons également observer qu’il s’agit d’une parabole en forme de U que nous pourrions également décrire comme une parabole qui s’ouvre vers le haut. Cela implique que le coefficient dominant, c’est-à-dire 𝑎, qui est le coefficient de 𝑥 au carré, soit positif.

Toutes les paraboles sont symétriques. Nous pouvons remarquer que pour cette parabole, son axe de symétrie est l’axe des ordonnées ou la droite d’équation 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons également observer que le sommet de cette parabole est sur l’axe des ordonnées. Cela nous indique que la valeur de 𝑏 dans la forme générale d’une fonction du second degré et que nous avons écrite précédemment est nulle. Ainsi, la fonction du second degré que nous recherchons est de la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑐.

Nous devons maintenant déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑐. Pour trouver d’abord 𝑐, nous pouvons rappeler que la valeur de 𝑐 correspond à l’ordonnée à l’origine de la courbe. Nous le savons parce que l’intersection avec l’axe des ordonnées se produit lorsque 𝑥 est égal à zéro. Aussi, 𝑓 de zéro est égal à 𝑎 multiplié par zéro au carré plus 𝑐, ce qui est égal à 𝑐. À partir du graphique, nous déterminons que l’ordonnée à l’origine est deux. Ainsi, la valeur de 𝑐 est deux.

Nous avons maintenant que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus deux. Pour déterminer la valeur de 𝑎, que nous savons être positive, nous pouvons utiliser les coordonnées de n’importe quel autre point de la courbe. Utilisons le point de coordonnées deux, 10. Nous savons que lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑓 de 𝑥 est égal à 10. Ainsi, en remplaçant 𝑓 de 𝑥 par 10, 𝑥 par deux et également 𝑐 par la valeur que nous venons de déterminer, soit deux, nous obtenons l’équation 10 est égal à 𝑎 multiplié par deux au carré plus deux. Deux au carré est égal à quatre. En soustrayant deux de chaque membre, nous obtenons que huit est égal à quatre 𝑎. Nous pouvons finalement diviser les deux membres de l’équation par quatre et nous trouvons que 𝑎 est égal à deux.

Ainsi, sous la forme générale, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑐 et nous avons constaté que 𝑎 et 𝑐 sont tous deux égaux à deux. Ainsi, l’équation de la fonction représentée sur le graphique est 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus deux, ce qui correspond à l’option (A).

Nous pouvons vérifier notre réponse en utilisant les coordonnées de n’importe quel autre point situé sur la courbe. Choisissons par exemple le point de coordonnées moins trois, 20. En remplaçant 𝑥 par moins trois dans la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus deux, nous obtenons que 𝑓 de moins trois est égal à deux multiplié par moins trois au carré plus deux. Cela fait donc deux multiplié par neuf soit 18 auquel on ajoute deux pour obtenir 20. Cela confirme donc que nous avons choisi la bonne fonction.

Nous pourrions également examiner les autres fonctions et les exclure pour diverses raisons. Par exemple, nous avons dit que comme la parabole est une parabole en forme de U qui s’ouvre vers le haut, la valeur de 𝑎 qui est le coefficient de 𝑥 au carré, doit être positive. Cela permet d’exclure les options (C), (D) et (E) car dans chacune de ces fonctions le coefficient de 𝑥 au carré est négatif. L’option (B) a le bon coefficient pour 𝑥 au carré. Mais dans ce cas, l’ordonnée à l’origine sera égale à moins deux et non pas à plus deux. Nous pouvons donc également exclure l’option (B).

Nous avons constaté que la fonction représentée par le graphique est 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus deux.

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