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Vidéo de question : Définir un vecteur à partir de sa norme et de ses cosinus directeurs Mathématiques

Déterminez le vecteur 𝐀 de norme 61 et de cosinus directeurs (1/2; −1/2; √(2)/2).

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Transcription de vidéo

Déterminez le vecteur 𝐀 de norme 61 et de cosinus directeurs un sur deux, moins un sur deux et racine carrée de deux sur deux.

Commençons par rappeler la définition des cosinus directeurs pour un vecteur 𝐀. Pour un vecteur 𝐀 de composantes 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦 et 𝐴 𝑧, les angles directeurs sont les angles 𝜃 𝑥, 𝜃 𝑦 et 𝜃 𝑧 que 𝐀 forme respectivement avec les axes des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧. Les cosinus directeurs sont les cosinus des angles directeurs, et on rappelle que la norme d’un vecteur est sa longueur.

Rappelons également que dans un triangle rectangle, le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent à 𝜃 sur la longueur de l’hypoténuse. Dans notre cas, le cosinus de l’angle directeur 𝜃 𝑥 est égal à la composante en 𝑥 du vecteur 𝐀 divisée par la norme de 𝐀 et de même pour les cosinus des angles directeurs 𝜃 𝑦 et 𝜃 𝑧. On peut ensuite écrire les cosinus directeurs sous forme de composantes comme ceci.

Maintenant, nous connaissons les cosinus directeurs et la norme du vecteur 𝐀. Et nous allons les utiliser pour déterminer les composantes 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦 et 𝐴 𝑧 de notre vecteur 𝐀. En observant les trois équations des cosinus directeurs, si on prend par exemple cos 𝜃 𝑥 et que l’on multiplie les deux membres par la norme de 𝐀, on trouve que la norme de 𝐀 fois cos 𝜃 𝑥 est égale à la composante en 𝑥 de 𝐀. Et en effectuant les mêmes calculs pour les composantes en 𝑦 et 𝑧, on obtient les trois composantes de 𝐀 en fonction de ses cosinus directeurs et de sa norme.

Nous savons alors que cos 𝜃 𝑥 égale un sur deux, cos 𝜃 𝑦 égale moins un sur deux, cos 𝜃 𝑧 égale racine carrée de deux sur deux et que la norme de 𝐀 est égale à 61. En substituant ces valeurs dans les équations des composantes 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦 et 𝐴 𝑧, on a 61 fois un sur deux égale 𝐴 𝑥, 61 fois moins un sur deux égale 𝐴 𝑦, et 61 fois racine carrée de deux sur deux égale 𝐴 𝑧.

Par conséquent, le vecteur de norme 61 et de cosinus directeurs un sur deux, moins un sur deux et racine carrée de deux sur deux a les composantes 61 sur deux, moins 61 sur deux et 61 racine carrée de deux sur deux.

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