Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale de neuf sinus de 𝑥 sur deux moins deux tangente de deux 𝑥 plus huit le tout au cube multiplié par neuf sur deux fois le cosinus de 𝑥 sur deux moins quatre sécante au carré de deux 𝑥 par rapport à 𝑥.
On peut remarquer que la fonction à intégrer est très compliquée dans ce problème. Nous ne pourrons pas évaluer directement cette intégrale. En fait, essayer de simplifier la fonction à intégrer ne facilitera pas les choses. Nous devrons utiliser l’une des différentes méthodes pour trouver cette intégrale. Pour évaluer cette intégrale, on doit remarquer que neuf sur deux fois le cosinus de 𝑥 sur deux moins quatre sécante au carré de deux 𝑥 est en fait la dérivée de la partie interne de notre fonction composée. C’est la dérivée de neuf sinus 𝑥 sur deux moins deux tangente de deux 𝑥 plus huit.
Remarquer cela nous donnera la motivation nécessaire pour essayer d’utiliser une substitution par une variable 𝑢 pour trouver cette intégrale. Nous allons commencer en supposant 𝑢 égale neuf sinus 𝑥 sur deux moins deux tangente de deux 𝑥 plus huit. Ensuite, nous allons dériver les deux côtés par rapport à 𝑥, en utilisant le fait que la dérivée du sinus de 𝑎𝑥 pour toute constante 𝑎 est 𝑎 fois le cosinus de 𝑎𝑥 et la dérivée de tangente de 𝑎𝑥 pour toute constante 𝑎 est 𝑎 fois sécante au carré de 𝑎𝑥. Cela nous donne d𝑢 par d𝑥 est égal à neuf sur deux fois le cosinus de 𝑥 sur deux moins quatre fois sécante au carré de deux 𝑥. Et nous pouvons voir que c’est le deuxième facteur de la fonction à intégrer.
Rappelez-vous que d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction. Cependant, lorsque nous utilisons une intégration par substitution, nous pouvons la traiter un peu comme une fraction. Cela nous donne l’affirmation équivalente que d𝑢 est égal à neuf sur deux cosinus 𝑥 sur deux moins quatre sécante au carré de deux 𝑥 d𝑥. Nous sommes maintenant prêts à évaluer l’intégrale par substitution. Premièrement, la composante interne de notre premier facteur est égale à 𝑢. Ensuite, nous avons montré que neuf sur deux cosinus de 𝑥 sur deux moins quatre sécante au carré de deux 𝑥 d𝑥 est en fait égal à d𝑢.
Donc, en combinant les deux, notre intégrale devient simplement l’intégrale de 𝑢 au cube par rapport à 𝑢. Et nous pouvons réellement intégrer cela en utilisant la propriété de l’intégration d’une puissance, qui nous dit que si 𝑛 n’est pas égal à moins un, l’intégrale de 𝑢 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑢 est égale à 𝑢 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝐶. Nous ajoutons un à l’exposant de 𝑢 et divisons par le nouvel exposant de 𝑢. Dans notre cas, la valeur de 𝑛 est trois. Nous obtenons donc 𝑢 à la puissance quatre divisée par quatre plus 𝐶.
Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, rappelez-vous, notre intégrale initiale était en fonction de 𝑥. Nous allons donc utiliser notre substitution par 𝑢 est égal à neuf sinus 𝑥 sur deux moins deux tangente de deux 𝑥 plus huit pour réécrire notre réponse en fonction de 𝑥. Cela nous donne un quart fois neuf sinus de 𝑥 sur deux moins deux tangente de deux 𝑥 plus huit à la puissance quatre plus 𝐶. Et voici notre réponse finale.
Par conséquent, en utilisant l’intégration par substitution, nous avons montré que l’intégrale de neuf sinus de 𝑥 sur deux moins deux tangente de deux 𝑥 plus huit au cube fois neuf sur deux cosinus de 𝑥 sur deux moins quatre sécante au carré de deux 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un quart fois neuf sinus de 𝑥 sur deux moins deux fois tangente de deux 𝑥 plus huit à la puissance quatre plus la constante d’intégration 𝐶.