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Vidéo de question : Construire une équation du second degré en utilisant la relation entre ses coefficients et ses racines Mathématiques

Sachant que 𝐿 + 3 et 𝑀 + 3 sont les racines de l’équation 𝑥² + 8𝑥 + 12 = 0, déterminez l'équation unitaire du second degré dont les racines sont 𝐿 et 𝑀.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝐿 plus trois et 𝑀 plus trois sont les racines de l’équation 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus 12 égale zéro, déterminez l'équation unitaire du second degré dont les racines sont 𝐿 et 𝑀.

Dans cette question, nous devons faire le travail inverse pour trouver l’équation du second degré elle-même à partir de ses racines. Voyons comment nous pouvons faire cela. Si l’équation du second degré a les racines 𝐿 et 𝑀, alors elle peut être factorisée par 𝑥 moins 𝐿 fois 𝑥 moins 𝑀.

Essayons donc de multiplier les deux ensembles de parenthèses pour voir à quoi ressemblerait la forme développée de l’équation en fonction de 𝐿 et 𝑀. On obtient 𝑥 au carré moins 𝐿𝑥 moins 𝑀𝑥 plus 𝐿𝑀 égale zéro. Les termes en 𝑥 peuvent être regroupés, ce qui donne 𝑥 au carré moins 𝐿 plus 𝑀𝑥 plus 𝐿𝑀 égale zéro. Étudions maintenant les coefficient de la forme développée de plus près.

Le coefficient de 𝑥 est moins 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿 plus 𝑀 est la somme des deux racines. Le terme constant est plus 𝐿𝑀 qui est le produit des racines. Cela signifie que si nous pouvons trouver la somme et le produit de 𝐿 et 𝑀, alors nous pourrons déterminer l’équation du second degré dont elles sont les racines.

La question nous parle alors d’une autre équation du second degré, 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus 12 égale zéro, dont les racines sont 𝐿 plus trois et 𝑀 plus trois. Voyons comment cela peut nous aider. Nous pouvons d’abord exprimer cette équation du second degré légèrement différemment en écrivant le terme du milieu plus huit 𝑥 comme moins moins huit 𝑥. En utilisant ce que nous venons de montrer, cela signifie que la somme des racines de cette équation du second degré est égale à moins huit et que le produit de ses racines est égal à 12.

Et on rappelle que les racines de cette équation du second degré sont 𝐿 plus trois et 𝑀 plus trois. Nous pouvons donc former des équations. Tout d’abord, comme la somme des racines est égale à moins huit, on a 𝐿 plus trois plus 𝑀 plus trois égale moins huit. Et ensuite, comme le produit des racines est égal à 12, on a 𝐿 plus trois fois 𝑀 plus trois égale 12.

Nous pouvons maintenant utiliser ces deux équations pour calculer la somme et le produit de 𝐿 et 𝑀 afin de pouvoir les remplacer dans l’équation du second degré que nous recherchons. La première équation se simplifie en additionnant les deux trois par 𝐿 plus 𝑀 plus six égale moins huit. Et en soustrayant six aux deux membres, on obtient 𝐿 plus 𝑀 égale moins 14. Nous avons donc trouvé la somme de 𝐿 et 𝑀. Et elle correspond au coefficient de 𝑥 dans notre équation du second degré. La somme de 𝐿 et 𝑀 est moins 14, ce qui signifie que le coefficient de 𝑥 sera moins moins 14, soit 14.

Considérons à présent la deuxième équation. En développant les parenthèses, on obtient 𝐿𝑀 plus trois 𝐿 plus trois 𝑀 plus neuf égale 12. Soustraire neuf aux deux membres de l’équation donne 𝐿𝑀 plus trois 𝐿 plus trois 𝑀 égale trois. Et rappelez-vous que nous cherchons à calculer le produit des racines, c’est-à-dire 𝐿𝑀. Donc cette équation va certainement nous être utile. On peut regrouper plus trois 𝐿 plus trois 𝑀 pour obtenir 𝐿𝑀 plus trois fois 𝐿 plus 𝑀 égale trois. Et nous avons déjà déterminé la valeur de 𝐿 plus 𝑀. Elle est égale à moins 14, ce qui signifie que nous pouvons remplacer cette valeur dans l’équation.

Nous avons maintenant 𝐿𝑀 plus trois fois moins 14 égale trois. Trois fois moins 14 égale moins 42. Et si on ajoute 42 aux deux membres, on trouve que 𝐿𝑀 est égal à 45. Nous connaissons donc également maintenant le produit de 𝐿 et 𝑀. Et nous pouvons l’utiliser pour trouver le terme constant de notre équation du second degré. En substituant les valeurs que nous avons trouvées pour 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿𝑀 dans l’équation du second degré, on a 𝑥 au carré moins moins 14𝑥 plus 45 égale zéro.

Et en simplifiant le coefficient de 𝑥, on obtient la réponse finale. L’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 et 𝑀 est 𝑥 au carré plus 14𝑥 plus 45 égale zéro.

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