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Vidéo de la leçon: Angles orientés Mathématiques • Première année secondaire

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09:23

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier et à mesurer des angles orientés et à trouver leurs angles équivalents. Afin de pouvoir travailler avec des angles orientés, nous devrons rappeler quelques points clés sur les angles.

Nous commençons par rappeler que les angles en un point totalisent 360 degrés. En d’autres termes, une rotation complète représente 360 degrés. Cela peut être montré sur un diagramme en quadrant où un quart d’une rotation est égal à 90 degrés et une demi-rotation est égale à 180 degrés. Nous pouvons également mesurer les angles en radians. Deux 𝜋 radians sont égaux à 360 degrés. En divisant les deux membres par deux, nous voyons que 𝜋 radians est égal à 180 degrés. Cela aussi peut être montré sur un diagramme en quadrant.

Nous allons maintenant expliquer ce que nous entendons par le terme angle orienté. Un angle orienté est un angle qui a un sens. Plus spécifiquement, il peut être défini comme une paire ordonnée de deux rayons, appelés les côtés de l’angle, avec un point de départ commun appelé le sommet. Si un angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, il est dit positif, alors que s’il est mesuré dans le sens horaire, il est considéré comme négatif.

Voyons plus en détail ce que signifie cette définition. Supposons que nous ayons la paire ordonnée 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵. Autrement dit, nous avons deux rayons 𝑂𝐴, le côté initial, et 𝑂𝐵, le côté terminal, et les deux se rencontrent au sommet 𝑂 comme indiqué. Ensuite, on peut dire que 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 est un angle orienté. En outre, puisque l’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous disons qu’il est positif. Il est également possible de le mesurer dans le sens des aiguilles d’une montre, ce qui entraînerait un angle négatif comme indiqué.

D’autre part, si nous avions la paire ordonnée 𝑂𝐵, 𝑂𝐴, cela correspondrait à l’angle orienté suivant avec deux mesures possibles. Nous pouvons voir que 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 et 𝑂𝐵, 𝑂𝐴 ne sont pas les mêmes, puisque les mesures positives et négatives sont inversées. Dans notre premier exemple, nous verrons comment trouver ces angles équivalents mesurés en degrés.

Trouvez le plus petit équivalent positif de 788 degrés.

Imaginons que l’angle orienté de 788 degrés soit l’angle entre deux rayons 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵, où 𝑂𝐴 est le côté initial et 𝑂𝐵 est le côté terminal de l’angle. Comme 788 degrés est positif, nous allons mesurer l’angle entre ces deux rayons dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous savons qu’un tour complet est égal à 360 degrés. Il s’ensuit donc que nous devrons faire au moins un tour complet pour obtenir l’angle dont nous avons besoin. En fait, 360 degrés plus 360 degrés est égal à 720 degrés, ce qui est toujours inférieur à 788 degrés. Nous devrons donc terminer deux tours complets. Nous devons atteindre 788 degrés, et 788 degrés moins 720 degrés sont égaux à 68 degrés. Cela signifie que nous devons tourner encore 68 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le plus petit équivalent positif à 788 degrés est 68 degrés.

Nous allons maintenant voir comment trouver des équivalents positifs avec un angle négatif mesuré en degrés.

Trouvez le plus petit équivalent positif de moins 40 degrés.

Imaginons que l’angle orienté moins 40 degrés soit l’angle entre deux rayons 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵, où 𝑂𝐴 est le côté initial et 𝑂𝐵 est le côté terminal de l’angle. Comme notre angle est négatif, nous allons mesurer l’angle entre ces deux rayons dans le sens des aiguilles d’une montre. Cela signifie que l’angle de 40 degrés sera comme indiqué sur le diagramme.

Nous devons trouver le plus petit équivalent positif à moins 40 degrés. Nous devons donc mesurer le même angle mais dans l’autre sens. Un angle orienté positif indique que nous devons mesurer dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous rappelons que les angles en un point totalisent 360 degrés. Ainsi, un équivalent positif de moins 40 degrés se trouve en soustrayant 40 degrés de 360 degrés. Par conséquent, l’équivalent positif le plus petit de moins 40 degrés est de 320 degrés.

Avant de passer à notre prochain exemple, nous allons introduire un nouveau terme, les angles coterminaux. Dans cette question, moins 40 degrés et 320 degrés étaient des exemples d’une paire d’angles coterminaux car ils partagent les mêmes côtés initial et terminal.

Les angles coterminaux partagent les mêmes côtés initial et terminal. Pour trouver un angle coterminal, nous pouvons additionner ou soustraire 360 degrés ou deux 𝜋 radians de l’angle donné. Les diagrammes montrent que 40 degrés, 400 degrés et moins 320 degrés sont des angles coterminaux puisque les trois angles ont les mêmes côtés initial et terminal. Notez que puisque nous pouvons additionner ou soustraire autant de multiples de 360 degrés que nous le souhaitons, il existe une quantité infinie d’angles coterminaux pour un angle orienté donné.

Nous allons maintenant calculer un angle coterminal positif et négatif lorsque l’angle d’origine est donné en radians.

Trouvez un angle avec une mesure positive et un angle avec une mesure négative qui sont coterminaux à un angle avec une mesure deux 𝜋 sur trois radians.

Considérons l’angle deux 𝜋 sur trois radians. Nous pourrions convertir cela en degrés en utilisant le fait que 𝜋 radians est égal à 180 degrés. Les deux tiers de 180 degrés sont égaux à 120 degrés, donc deux 𝜋 sur trois radians sont égaux à 120 degrés. Cependant, nous garderons notre angle en radians dans cette question. Comme notre angle est positif, nous devons mesurer l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du côté initial, comme indiqué.

Nous rappelons que les angles coterminaux partagent les mêmes côtés initial et terminal. Cela signifie que nous devons trouver des moyens alternatifs pour exprimer le même angle. Nous pouvons calculer les angles coterminaux en additionnant ou en soustrayant deux 𝜋 radians de l’angle donné. Pour trouver un autre angle positif, nous devons continuer à mesurer dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Cela signifie que nous devons ajouter deux 𝜋 radians à notre angle. Deux 𝜋 radians équivalent à six 𝜋 sur trois radians. Cela signifie que nous devons ajouter deux 𝜋 sur trois et six 𝜋 sur trois. Ceci est égal à huit 𝜋 sur trois radians. Un angle de mesure positive qui est coterminal à un angle de mesure deux 𝜋 sur trois est huit 𝜋 sur trois radians.

De la même manière, nous pouvons trouver un angle avec une mesure négative en nous déplaçant dans le sens des aiguilles d’une montre. Cela signifie que nous devons soustraire deux 𝜋 de notre angle. Deux 𝜋 sur trois moins six 𝜋 sur trois est égal à moins quatre 𝜋 sur trois. Un angle de mesure négative qui est coterminal à un angle de mesure deux 𝜋 sur trois est moins quatre 𝜋 sur trois radians. Les deux angles sont huit 𝜋 sur trois et moins quatre 𝜋 sur trois.

Dans nos trois premiers exemples, nous avons vu qu’il existe un nombre infini de façons pour décrire un angle donné. Il y aura des moments où nous voulons restreindre la mesure de l’angle que nous donnons. Lorsque c’est le cas, on utilise la mesure directe.

La mesure directe est l’angle entre le côté initial et le côté terminal, mesuré dans le sens antihoraire, qui a un angle dont la valeur en degrés se situe dans l’intervalle fermé de zéro à 360 et en radians se situe dans l’intervalle fermé de zéro à deux 𝜋. Si 𝜃 est notre mesure directe, alors 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et inférieur ou égal à 360 degrés ou supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à deux 𝜋 radians.

Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment calculer la mesure directe en radians.

Étant donné l’angle moins 23𝜋 sur cinq, déterminez la mesure directe.

La mesure directe est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre le côté initial et le côté terminal qui a une valeur 𝜃 radians, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à deux 𝜋 radians. Cela signifie que nous devons trouver l’angle coterminal à moins 23𝜋 sur cinq radians qui est compris entre zéro et deux 𝜋 radians. Comme l’angle donné est négatif, il sera mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre. Puisque 23𝜋 sur cinq est égal à quatre et trois cinquièmes 𝜋 et qu’une rotation complète est égale à deux 𝜋 radians, nous pouvons effectuer deux rotations complètes. Nous continuons ensuite trois cinquièmes 𝜋 radians dans le sens des aiguilles d’une montre, comme le montre la figure. Puisque nous mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre, cet angle est négatif. C’est moins trois 𝜋 sur cinq radians.

La mesure directe doit être positive. Nous devons donc trouver l’angle coterminal à ceci mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Pour trouver l’angle coterminal dont nous avons besoin, et donc la mesure directe, nous soustrayons trois 𝜋 sur cinq de deux 𝜋. Cela équivaut à 10𝜋 sur cinq moins trois 𝜋 sur cinq, ce qui équivaut à sept 𝜋 sur cinq radians. Par conséquent, la mesure directe de moins 23𝜋 sur cinq est de sept 𝜋 sur cinq radians.

Nous terminerons cette vidéo en récapitulant certains des points clés. Un angle orienté est un angle qui a un sens ; le sens inverse des aiguilles d’une montre est positif et le sens des aiguilles d’une montre est négatif. Les angles coterminaux partagent les mêmes côtés initial et terminal. Il existe un nombre infini d’angles coterminaux équivalents. La mesure directe est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre le côté initial et le côté terminal qui a une valeur 𝜃, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et inférieur ou égal à 360 degrés ou supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égale à deux 𝜋 radians.

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