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Vidéo de question : Simplifier et déterminer l’ensemble de définition d’une somme de deux fonctions rationnelles Mathématiques

Simplifiez la fonction 𝑛(𝑥) = 7𝑥² / (𝑥 - 1) + 3𝑥 / (1 - 𝑥), et déterminez son ensemble de définition.

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Transcription de vidéo

Simplifiez la fonction 𝑛 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 au carré divisé par 𝑥 moins un plus trois 𝑥 divisé par un moins 𝑥 et déterminez son ensemble de définition.

Afin de simplifier les fonctions, nous devons d’abord trouver le plus petit dénominateur commun. Dans ce cas, nous multiplions 𝑥 moins un par un moins 𝑥. Lors de la multiplication des fractions, nous devons faire la même chose au numérateur et au dénominateur.

Par conséquent, nous devons multiplier le numérateur de la première fraction sept 𝑥 au carré par un moins 𝑥 et le numérateur de la deuxième fraction trois 𝑥 par 𝑥 moins un. Cela nous donne une seule fraction de sept 𝑥 au carré multiplié par un moins 𝑥 plus trois 𝑥 multiplié par 𝑥 moins un divisé par 𝑥 moins un multiplié par un moins 𝑥.

La prochaine étape consiste à développer les parenthèses à l’aide de la propriété de la distributivité. Sept 𝑥 au carré multiplié par un est sept 𝑥 au carré et sept 𝑥 au carré multiplié par moins 𝑥 est moins sept 𝑥 au cube.

Pour la deuxième parenthèse, trois 𝑥 multiplié par 𝑥 est trois 𝑥 au carré et trois 𝑥 multiplié par moins un est moins trois 𝑥. Le regroupement des termes semblables simplifie le numérateur à moins sept 𝑥 au cube plus 10 𝑥 au carré moins trois 𝑥. La prochaine étape consiste à obtenir le numérateur dans sa forme la plus simple en factorisant.

Eh bien, tout d’abord, nous pouvons voir que 𝑥 est un facteur commun. Par conséquent, factoriser par 𝑥 nous donne 𝑥 multiplié par moins sept 𝑥 au carré plus 10𝑥 moins trois. Le trinôme moins sept 𝑥 au carré plus 10𝑥 moins trois peut être factorisé en deux parenthèses. Ces deux parenthèses sont sept 𝑥 moins trois et un moins 𝑥.

Nous pourrions vérifier cela en utilisant la double distributivité en développant la parenthèse. Comme un moins 𝑥 est un terme courant, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par un moins 𝑥. Cela nous donne 𝑥 multiplié par sept 𝑥 moins trois divisé par 𝑥 moins un. Par conséquent, la version simplifiée de 𝑛 de 𝑥 est 𝑥 multiplié par sept 𝑥 moins trois divisé par 𝑥 moins un.

La deuxième partie de la question nous demande de déterminer l’ensemble de définition de la fonction 𝑛 de 𝑥. Eh bien, à première vue, il semble que toutes les valeurs réelles sont des entrées valables pour la fonction 𝑛 de 𝑥. Cependant, en regardant de plus près, nous pouvons voir qu’il y a une valeur de 𝑥 qui rendrait le dénominateur égal à zéro. Cela nous donnerait une valeur indéfinie.

Pour calculer cette valeur, nous devons rendre le dénominateur - dans ce cas 𝑥 moins un - égal à zéro. Ajouter un aux deux membres de l’équation nous donne une solution de 𝑥 égal à un. Cela signifie que lorsque nous substituons 𝑥 est égal à un dans la fonction 𝑛 de 𝑥, nous obtenons une valeur indéfinie.

Cela signifie que l’ensemble de définition de 𝑛 de 𝑥 est constitué de tous les nombres réels, à l’exception de un - les nombres réels moins un.

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