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Vidéo de la leçon : Rang d’une matrice : les déterminants Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le rang d’une matrice à l’aide des déterminants, et à l’utiliser pour déterminer le nombre de solutions d’un système d’équations linéaires.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le rang d’une matrice à l’aide des déterminants, et à l’utiliser pour déterminer le nombre de solutions d’un système d’équations linéaires..

Le rang d’une matrice rg de 𝐴 est le nombre de lignes ou de colonnes 𝑛 de la plus grande sous-matrice carrée d’ordre 𝑛 issue de 𝐴 dont le déterminant est non nul. Considérons la matrice suivante comme exemple. Il s’agit d’une matrice quatre deux, et la plus grande sous-matrice carrée possible que nous pouvons en tirer est une matrice deux deux. Nous pouvons choisir parmi plusieurs matrices deux deux en supprimant deux lignes. Si nous gardons cette sous-matrice deux deux en supprimant les deux premières lignes, le calcul du déterminant donne un fois neuf moins moins un fois sept, ce qui est égal à 16, qui est bien non nul.

Nous avons donc trouvé une sous-matrice deux deux issue de la matrice d’origine de déterminant non nul. Par conséquent, le rang de la matrice d’origine est égal au nombre de lignes ou de colonnes de cette sous-matrice, c’est à dire deux. De cela découle un résultat important. Le rang de la matrice 𝑝 𝑞 notée 𝐴, c’est-à-dire avec 𝑝 lignes et 𝑞 colonnes, a des bornes inférieure et supérieure qui sont respectivement zéro et le minimum de 𝑝 et 𝑞. C’est-à-dire que zéro est inférieur ou égal au rang de 𝐴, qui est inférieur ou égal au minimum de 𝑝 et 𝑞. Cela est logique car pour la borne inférieure zéro, il est clair que nous ne pouvons pas avoir une sous-matrice avec moins de zéro ligne ou colonne. Et pour la limite supérieure, il est clair que la limite supérieure de l’ordre d’une matrice carrée à l’intérieur de la matrice originale sera inférieure au nombre de lignes ou de colonnes.

Cela conduit à un autre résultat important. Le rang d’une matrice 𝐴 est égal à zéro si et seulement si 𝐴 est la matrice nulle, c’est-à-dire une matrice avec des éléments uniquement égaux à zéro. On voit cela très facilement en regardant la matrice A d’ordre 𝑛 dénifi comme cela. Si l’un de ses éléments, disons 𝑥 𝑖𝑗, n’est pas égal à zéro, alors nous pouvons trouver une matrice un un, c’est-à-dire un seul élément, qui a un déterminant non nul. Par conséquent, le rang de 𝐴 sera supérieur ou égal à un et donc non nul. Inversement, si on prend la matrice nule d’ordre 𝑛, quel que soit la sous-matrice carrée que nous prenons elle sera toujours une matrice nulle de déterminant nul. Par conséquent, nous ne pouvons pas trouver une sous-matrice avec un déterminant non nul. Ainsi, le rang de la matrice nulle est zéro.

Nous pouvons utiliser ces résultats pour tirer une conclusion utile sur les matrices deux deux en particulier. Une matrice deux deux 𝐴 non égale à la matrice nulle a un rang égal à un si et seulement si elle a un déterminant qui vaut zéro. Pour mettre cela en évidence, considérons la matrice non nulle deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. La seule sous-matrice deux deux de 𝐴 possible est 𝐴. Par conséquent, si le déterminant de 𝐴 est nul, il n’y a pas de sous-matrice deux deux avec un déterminant non nul. Et par conséquent, le rang de 𝐴 ne peut pas être égal à deux. Puisque 𝐴 n’est pas non plus égale à la matrice nulle, le résultat précédent signifie que le rang de 𝐴 ne peut pas non plus être nul. Par conséquent, la seule possibilité restante est que le rang de 𝐴 soit égal à un.

Inversement, si le rang de 𝐴 est égal à un, il ne peut pas y avoir de sous-matrice deux deux de 𝐴 avec un déterminant non nul. Par conséquent, la seule sous-matrice deux deux de 𝐴, c'est-à-dire elle-même, a forcément un déterminant égal à zéro. Ce résultat est très important car il signifie que nous pouvons trouver instantanément le rang d’une matrice deux deux en calculant son déterminant. Ainsi, si on part d’une matrice deux deux 𝐴, si 𝐴 est la matrice nulle, ce qui devrait être évident, nous pouvons immédiatement conclure que son rang est nul. Si 𝐴 n’est pas la matrice nulle, nous pouvons calculer le déterminant de 𝐴, et s’il est égal à zéro, alors le rang de 𝐴 est un. Et sinon, le rang de 𝐴 est égal à deux. Voyons un exemple d’utilisation de ce processus pour trouver rapidement le rang d’une matrice deux deux.

Trouvez le rang de la matrice 2, 24, 4, 48.

Rappelons que le rang d’une matrice 𝐴 est le nombre de lignes ou de colonnes 𝑛 de la plus grande sous-matrice 𝑛 𝑛 de 𝐴 de déterminant non nul. Cela signifie que pour une matrice deux deux comme la nôtre, le rang est compris entre zéro et deux. Rappelons également que le rang de 𝐴 est égal à zéro si et seulement si 𝐴 est la matrice nulle. Clairement, cette matrice n’est pas la matrice nulle. Par conséquent, son rang n’est pas égal à zéro. En prenant le déterminant de la matrice, nous obtenons deux fois 48 moins 24 fois quatre, ce qui est égal à zéro. Puisque la seule sous-matrice deux deux de 𝐴 est elle-même, il n’y a pas de sous-matrice deux deux avec un déterminant non nul. Par conséquent, le rang de 𝐴 ne peut pas être deux. Et cela ne laisse plus qu’une seule option : le rang de 𝐴 est donc nécessairement égal à un.

Voyons maintenant un exemple d’utilisation de cette approche pour trouver le rang de matrices plus grandes.

Trouvez le rang de la matrice suivante à l’aide des déterminants : sept, six, huit, moins huit, trois, huit.

Rappelons que le rang d’une matrice 𝐴 est le nombre de lignes ou de colonnes de la plus grande sous-matrice carrée 𝑛 par 𝑛 de 𝐴 avec un déterminant non nul. Rappelons également que le rang de la matrice est compris entre zéro et le minimum entre 𝑝 et 𝑞, où 𝑝 est le nombre de lignes et 𝑞 le nombre de colonnes de 𝐴. Cette matrice a deux lignes et trois colonnes. Par conséquent, le rang de 𝐴 doit être inférieur ou égal au plus petit de ces nombres, c’est à dire deux. Rappelons également que le rang de 𝐴 est égal à zéro si et seulement si 𝐴 est la matrice nulle. Cette matrice n’est clairement pas la matrice nulle. Par conséquent, son rang ne peut pas être zéro.

Nous cherchons maintenant la plus grande sous-matrice carrée de la matrice originale avec un déterminant non nul. La plus grande sous-matrice carrée possible de la matrice originale sera une matrice deux deux. Alors choisissons la matrice deux deux formée en supprimant la colonne la plus à droite. En prenant le déterminant de cette sous-matrice, nous obtenons sept fois trois moins six fois moins huit, ce qui est égal à 21 plus 48, ce qui est égal à 69, ce qui n’est pas égal à zéro. Nous avons donc trouvé une sous-matrice deux deux de la matrice d’origine avec un déterminant non nul. Par conséquent, le rang de la matrice d’origine est de deux.

Les techniques présentées jusqu’à présent peuvent se résumer à une méthode en trois étapes pour trouver le rang de n’importe quelle matrice. La première étape consiste à trouver la plus grande sous-matrice carrée possible de 𝐴, calculer le déterminant de cette sous-matrice, et si le déterminant est non nul, alors le rang de 𝐴 est égal au nombre de lignes ou de colonnes de cette sous-matrice. Si le déterminant de la sous-matrice est nul, nous répétons l’étape un pour d’autres sous-matrices carrées de même taille. Et enfin, si une sous-matrice carrée avec un déterminant non nul n’a pas pu être trouvée, nous répétons les étapes un et deux pour les sous-matrices plus petites d’une ligne et d’une colonne, jusqu’à ce qu’une sous-matrice avec un déterminant non nul soit trouvée. Le rang de 𝐴 est alors égal au nombre de lignes ou de colonnes de cette sous-matrice. Voyons maintenant comment appliquer cela à des matrices encore plus grandes.

Trouvez le rang de la matrice moins 16, moins 11, moins 14, 17, 19, moins 24, 3, moins 6, moins 24.

Rappelons que le rang d’une matrice 𝐴 est le nombre de lignes ou de colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de 𝐴 de déterminant non nul. Rappelons également que le rang de 𝐴 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal au minimum entre 𝑝 et 𝑞, où 𝑝 est le nombre de lignes et 𝑞 le nombre de colonnes de 𝐴. On a ici une matrice trois trois. Le rang de 𝐴 doit donc être compris entre zéro et trois. Et enfin, rappelons que le rang de 𝐴 est égal à zéro si et seulement si 𝐴 est la matrice nulle. Cette matrice n’est clairement pas la matrice nulle. Par conséquent, son rang ne peut pas être égal à zéro.

La plus grande sous-matrice carrée possible de 𝐴 est elle-même, c'est-à-dire une matrice trois trois. Si nous calculons le déterminant de la matrice en développant par rapport à la première ligne, nous obtenons un résultat de 8130, qui n’est pas égal à zéro. Nous avons donc trouvé une sous-matrice trois trois de 𝐴, elle-même, avec un déterminant non nul. Par conséquent, le rang de 𝐴 est trois.

Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n’avons pas simplement commencé par prendre le déterminant de la matrice, car c’était tout ce qui était nécessaire pour vérifier que son rang était trois. La raison est que nous ne savions pas que le rang de la matrice était trois et que son déterminant aurait pu être égal à zéro. C’est pourquoi on commence par vérifier ces aspects en premier. Parfois, nous devons être un peu plus stratégiques lors de la sélection d’une sous-matrice de la matrice d’origine.

Trouvez le rang de la matrice suivante.

Rappelons que le rang d’une matrice 𝐴 est le nombre de lignes ou de colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de 𝐴 de déterminant non nul. Rappelons également que le rang de 𝐴 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal au minimum entre 𝑝 et 𝑞, où 𝑝 est le nombre de lignes et 𝑞 le nombre de colonnes de 𝐴. Puisque 𝐴 dans ce cas est une matrice trois trois, le rang de 𝐴 est donc compris entre zéro et trois. Rappelons également que le rang de 𝐴 est égal à zéro si et seulement si 𝐴 est la matrice nulle. Cette matrice n’est clairement pas la matrice nulle. Par conséquent, son rang ne peut pas être égal à zéro.

La plus grande sous-matrice carrée possible de cette matrice est simplement elle-même, une matrice trois trois. En prenant le déterminant de la matrice en développant par rapport à la première ligne, nous obtenons un résultat de zéro. C’est la seule sous-matrice trois trois possible de 𝐴, et elle a un déterminant de zéro. Par conséquent, le rang de 𝐴 ne peut pas être trois. Nous cherchons maintenant une sous-matrice deux deux de 𝐴 avec un déterminant non nul. Cela est problématique car il y a neuf sous-matrices deux deux possibles pour 𝐴, et nous devrons peut-être vérifier chacune d’elles.

imaginons, par exemple, que la matrice originale ait ressemblé à ceci. La seule sous-matrice deux deux que nous pouvons sélectionner qui pourrait avoir un déterminant non nul est celle-ci. Dans cet exemple hypothétique, le choix est clair, mais ce n’est peut-être pas le cas dans notre question. Si nous regardons la matrice originale, nous pouvons voir que la ligne du bas est un multiple scalaire exact de la ligne du haut. Toute sous-matrice deux deux sélectionnée parmi ces deux lignes aura donc un déterminant égal à zéro. Et nous pourrions supposer à partir de cela que cela signifie qu’il n’y a pas de sous-matrice deux deux de déterminant non nul.

Nous pourrions supposer à partir de cela qu’il n’y a pas de sous-matrice deux deux de 𝐴 de déterminant non nul. Cependant, si nous sélectionnons une sous-matrice deux deux qui ne provient pas seulement de ces deux lignes qui sont des multiples scalaires l’une de l’autre, par exemple, en supprimant la ligne du bas et la colonne la plus à droite, nous obtenons un déterminant non nul. Nous avons donc trouvé une sous-matrice deux deux de 𝐴 avec un déterminant non nul. Par conséquent, le rang de 𝐴 est deux.

Dans cet exemple, nous avons vu comment utiliser le fait que deux lignes de la matrice sont des multiples scalaires pour trouver plus rapidement le rang de la matrice. Cela conduit au résultat suivant. Si une matrice trois trois 𝐴 ne contenant aucune ligne ou colonne nulle contient deux lignes (respectivement colonnes) qui sont des multiples scalaires l’une de l’autre et une troisième ligne (respectivement colonne) qui n’est pas un multiple scalaire des deux autres, alors le rang de 𝐴 est égal à deux.

Considérez la matrice suivante comme exemple. Elle n’a pas de lignes qui sont des multiples scalaires, mais elle a deux colonnes qui sont des multiples l’une de l’autre. La colonne de droite est exactement deux fois la colonne de gauche, et la colonne du milieu n’est multiple d’aucune des deux autres. Nous pouvons donc immédiatement conclure que le rang de 𝐴 est deux. Nous pouvons vérifier cela directement en calculant le déterminant de 𝐴 et en montrant qu’il est nul. C’est la seule sous-matrice trois trois de 𝐴. Par conséquent, son rang ne peut pas être trois. Et en prenant une sous-matrice deux deux de 𝐴, en prenant bien soin d’y inclure la colonne du milieu, nous obtenons un déterminant non nul. Par conséquent, le rang de 𝐴 est deux.

Dans certains cas, nous pouvons rencontrer une matrice où les trois lignes et colonnes sont des multiples scalaires l’une de l’autre. Dans ce cas, nous avons le résultat suivant. Une matrice trois trois 𝐴 non nulle a un rang égal à un si et seulement si elle contient trois lignes ou colonnes qui sont des multiples scalaires les unes des autres. Une telle matrice ressemblera à ceci. Nous avons une ligne non nulle 𝑎, 𝑏, 𝑐 et deux autres lignes qui sont des multiples scalaires 𝜆 et 𝜇 de la première ligne. Par extension, les trois colonnes sont également des multiples scalaires les unes des autres. En prenant le déterminant de 𝐴 en développant par rapport à la première ligne, les termes de chacune des parenthèses s’annuleront tous. Par conséquent, le déterminant de 𝐴 est égal à zéro, et donc le rang de 𝐴 ne peut pas être égal à trois. Cela sera le résultat quelle que soit la façon dont nous déplaçons les lignes et les colonnes, tant qu’elles sont des multiples scalaires les unes des autres.

Pour vérifier que le rang de 𝐴 n’est pas deux, nous n’avons pas besoin de prendre les neuf déterminants des neuf sous-matrices deux par deux. Au lieu de cela, nous pouvons simplement utiliser le résultat général qui dit que le déterminant d’une matrice deux deux dont les lignes et les colonnes sont des multiples scalaires l’une de l’autre est égal à zéro. Par conséquent, les déterminants des neuf sous-matrices deux deux de 𝐴 seront tous nuls. Par conséquent, le rang de 𝐴 ne peut pas être deux non plus. 𝐴 n’est pas la matrice nulle. Par conséquent, la seule possibilité restante est que le rang de 𝐴 est égal à un.

Cette affirmation est encore plus puissante que la précédente, car c’est une affirmation « si et seulement si ». Cela signifie que si nous avons une matrice trois trois qui ne répond pas à ces critères, son rang ne peut pas être égal à un. Cela nous amène au résultat final. Si une matrice trois trois 𝐴 ne contient pas de lignes ou de colonnes qui sont des multiples scalaires les unes des autres et que le déterminant de 𝐴 est égal à zéro, alors le rang de 𝐴 est deux. Cela se démontre facilement, en effet, le déterminant de 𝐴 étant égal à zéro, cela signifie que le rang de 𝐴 ne peut pas être égal à trois. Deuxièmement, la matrice ne contient pas de lignes ou de colonnes qui sont des multiples scalaires les unes des autres, ce qui implique donc déjà que 𝐴 n’est pas la matrice nulle. Par conséquent, son rang n’est pas nul. Et d’après le résultat précédent, le rang de 𝐴 ne peut pas être égal à un. Par conséquent, la seule option restante est que le rang de 𝐴 est deux.

L’ensemble de ces résultats nous permet de suivre une procédure générale pour trouver le rang d’une matrice trois trois. En partant d’une matrice trois trois 𝐴, nous vérifions d’abord si 𝐴 est la matrice nulle. Si c’est le cas, alors le rang de 𝐴 est zéro. Sinon, nous regardons si l’une ou l’autre des lignes ou des colonnes de la matrice est un multiple scalaire d’une autre. Si 𝐴 a exactement deux lignes ou colonnes qui sont des multiples scalaires l’une de l’autre, alors le rang de 𝐴 est deux. Si les trois lignes et colonnes sont des multiples scalaires l’une de l’autre, alors le rang de 𝐴 est un. Si aucune ligne ou colonne n’est multiple scalaire d’une autre, nous calculons le déterminant de 𝐴. Si le déterminant est nul, alors le rang de 𝐴 est deux. Et sinon, le rang de 𝐴 est égal à trois.

Appliquons cette méthode à un exemple de matrice. Déjà, il est clair que 𝐴 n’est pas la matrice nulle. En y regardant de plus près, 𝐴 ne contient pas de lignes ou de colonnes qui sont des multiples scalaires les unes des autres. Et enfin, en prenant le déterminant de 𝐴 en développant par rapport à la première ligne, nous obtenons un résultat de zéro. Par conséquent, le rang de 𝐴 est deux.

L’une des implications les plus importantes du rang d’une matrice est le nombre de solutions au système d’équations linéaires qu’elle représente. Le théorème de Rouché-Capelli dit qu’un système d’équations linéaires à 𝑛 variables a des solutions si et seulement si le rang de sa matrice de coefficients 𝐴 est égal au rang de sa matrice augmentée 𝐴 𝑏.

Plus précisément, si le rang de 𝐴 n’est pas égal au rang de 𝐴 𝑏, le système n’a pas de solution. Si le rang de 𝐴 est égal au rang de 𝐴 𝑏 qui est égal à 𝑛, le nombre de variables dans le système, alors le système a une solution unique. Et enfin, si le rang de 𝐴 est égal au rang de 𝐴 𝑏 mais pas égal à 𝑛, le nombre de variables dans le système, alors le système a une infinité de solutions.

Voyons un exemple d’application de ce théorème pour trouver rapidement le nombre de solutions dans un système d’équations linéaires.

Trouvez le nombre de solutions du système d’équations linéaires suivant.

Rappelons que le théorème de Rouché-Capelli dit que des solutions au système d’équations linéaires existent si et seulement si le rang de sa matrice de coefficients 𝐴 est égal au rang de sa matrice augmentée 𝐴 𝑏. Considérons la matrice de coefficients 𝐴. Ce n’est clairement pas la matrice nulle, et elle ne contient pas de lignes ou de colonnes qui sont des multiples scalaires les unes des autres. Si nous calculons le déterminant de 𝐴 en développant par rapport à la première ligne, nous obtenons un résultat de 1516. Nous avons donc trouvé une sous-matrice trois par trois de 𝐴 avec un déterminant non nul. Par conséquent, le rang de 𝐴 est trois.

Considérons maintenant la matrice augmentée 𝐴 𝑏. Il s’agit d’une matrice trois quatre. Et rappelons que le rang d’une matrice ne peut pas dépasser le minimum du nombre de lignes ou de colonnes. Par conséquent, le rang de cette matrice doit être au plus égal à trois. Par construction, 𝐴 𝑏 contient 𝐴 comme sous-matrice, dont nous venons de montrer que le déterminant est non nul. Par conséquent, le rang de 𝐴 𝑏 doit être d’au moins trois et d’au plus trois. Et par conséquent, le rang de 𝐴 𝑏 est égal à trois.

Nous avons donc montré que le rang de la matrice augmentée est égal au rang de la matrice des coefficients et que les deux sont égaux à 𝑛, le nombre de variables du système d’équations linéaires, qui est trois. D’après le théorème de Rouché-Capelli, ce système a donc des solutions. Et puisque le rang de la matrice de coefficients et de la matrice augmentée est égal au nombre de variables du système, le système a une solution unique.

Terminons cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Le rang d’une matrice 𝐴 est donné par le nombre de lignes ou de colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de 𝐴 de déterminant non nul. Pour une matrice 𝐴 avec 𝑝 lignes et 𝑞 colonnes, le rang de 𝐴 est compris entre zéro et le minimum entre 𝑝 et 𝑞. Et enfin, le théorème de Rouché-Capelli nous dit qu’un système d’équations linéaires a des solutions si et seulement si le rang de sa matrice de coefficients 𝐴 est égal au rang de sa matrice augmentée 𝐴 𝑏.

Plus précisément, si le rang de 𝐴 n’est pas égal au rang de 𝐴 𝑏, le système n’a pas de solution. Si le rang de 𝐴 est égal au rang de 𝐴 𝑏 et que les deux sont égaux à 𝑛, le nombre de variables dans le système, alors le système a une solution unique. Et si le rang de 𝐴 est égal au rang de 𝐴 𝑏 et différent du nombre de variables dans le système, alors le système a une infinité de solutions.

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