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Vidéo de question : Déterminer un élément de la transposée d’une matrice Mathématiques

On considère les matrices 𝐴 = [-2, 10, 7 et 1, 9, 0], 𝐵 = 𝐴 ^ (𝑇). Déterminez 𝑎₁₂ et 𝑏₁₁.

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Transcription de vidéo

On considère les matrices 𝐴, qui est égale à moins deux, 10, sept, un, neuf, zéro et 𝐵, qui est égale à la transposée de 𝐴. Déterminez 𝑎 un deux et 𝑏 un un.

Maintenant, juste pour vous rappeler cette notation, lorsque nous voyons une matrice puis un exposant 𝑇 comme nous l’avons ici, cela signifie qu’on nous demande de trouver la transposée de cette matrice. C’est la matrice que nous obtenons si nous échangeons les lignes et les colonnes. Nous allons voir comment faire cela dans un instant car nous devons également nous rappeler ce que l’on entend par la notation 𝑎 puis un indice un deux et aussi la notation 𝑏 puis un indice un. Nous rappelons qu’un 𝑎 minuscule, puis l’indice 𝑚𝑛 définit un élément particulier de la matrice 𝐴 majuscule. C’est l’élément de la ligne 𝑚 et de la colonne 𝑛. Rappelez-vous, on parle toujours des lignes en premier et des colonnes en second.

Donc 𝑎 indice un deux signifie qu’on nous demande de donner l’élément, qui se trouve dans la première ligne et la deuxième colonne de la matrice 𝐴. Et 𝑏 indice un un signifie qu’on nous demande de donner l’élément dans la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐵. Considérons tout d’abord 𝑎 un deux. Nous examinons la première ligne et la deuxième colonne. Nous pouvons voir que l’élément ici est le nombre 10. Donc, c’est 𝑎 un deux. Maintenant, considérons comment nous pouvons trouver 𝑏 un un. Et il y a deux façons différentes de le faire. Tout d’abord, comme 𝐵 est égale à la transposée de 𝐴, nous pourrions trouver cette matrice. Nous avons donc pu trouver la transposée de notre matrice moins deux, 10, sept, un, neuf, zéro.

Maintenant, comme 𝐴 est une matrice à deux lignes et trois colonnes, lorsque nous échangeons les lignes et les colonnes, sa transposée, la matrice 𝐵, sera une matrice à trois lignes et deux colonnes. La première ligne de la matrice 𝐴 va former la première colonne de sa transposée. Nous avons donc moins deux, 10, sept comme première colonne de la matrice 𝐵. La deuxième ligne de la matrice 𝐴 va former la deuxième colonne de sa transposée. La deuxième colonne de la matrice 𝐵 est donc un, neuf, zéro. Nous avons alors trouvé la matrice 𝐵. Elle est égale à moins deux, un, 10, neuf, sept, zéro. Pour trouver 𝑏 un un, rappelez-vous que c’est l’élément de la première ligne et de la première colonne de la matrice 𝐵. Donc, en observant la matrice que nous avons trouvée, nous pouvons voir que c’est égal à moins deux.

Nous avons donc répondu à la question. Mais existe-t-il un moyen plus facile de répondre à la deuxième partie sans avoir à trouver explicitement la matrice 𝐵 ? Eh bien, nous pourrions considérer quel élément 𝑏 un un serait égal dans la matrice 𝐴. Rappelez-vous, nous avons échangé la position des lignes et des colonnes. Donc, afin de déterminer où cet élément se trouvait dans la matrice 𝐴, nous pouvons simplement échanger les deux indices. Dans ce cas, cependant, ce sont les mêmes. Donc, échanger un et un en donne toujours un. Et nous trouvons que 𝑏 un un est le même que 𝑎 un un. Et en revenant à la matrice 𝐴, nous pouvons voir que c’est bien le cas.

Supposons qu’on vous demande un élément tel que 𝑏 trois deux, mais qui, d’après notre matrice 𝐵, vaut zéro. C’est l’élément de la troisième ligne et de la deuxième colonne. Nous aurions pu le trouver dans la matrice 𝐴 en échangeant les deux nombres pour donner 𝑎 deux trois, puis en recherchant l’élément qui se trouvait dans la deuxième ligne et la troisième colonne de la matrice 𝐴, que nous voyons, encore une fois, égal à zéro. Il n’était donc pas nécessaire d’écrire la matrice 𝐵, bien que ce soit utile de le faire. Nous avons donc trouvé que 𝑎 un deux est égal à 10 et 𝑏 indice un un est égal à moins deux.

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